在数学上,决定公理Axiom of determinacy,常记做AD)是一个在1962年由​​扬·米切尔斯基英语Jan Mycielski​​雨果·斯坦豪斯英语Hugo Steinhaus所提出的可能的集合论公理,这公理探讨的是特定类型且长度为ω的二人​拓朴游戏英语Topological game,而决定公理声称,任何这类的游戏都是决定的英语determinacy,也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

他们发展出决定公理的动机是这公理的有趣结果,他们并指出这公理可在集合论的最小自然模型​​L(R)英语​​L(R)中成立,这模型只接受较弱版本的选择公理,但包括了所有的实数序数。决定公理的一些结果,可由早前由斯特凡·巴拿赫斯坦尼斯瓦夫·马祖尔英语Stanisław Mazur以及莫顿·戴维斯(Morton Davis)等人证明的定理得出;而米切尔斯基与斯坦豪斯两氏则证明了另一个结果,那就是在决定公理下,所有实数的集合都是勒贝格可测的。之后Donald A. Martin等人证明了更多重要的结果,尤其在描述集合论方面更是如此。在1988年,约翰·斯蒂尔英语John R. Steel​乌丁英语W. Hugh Woodin总结了一长串的研究,并证明说在类似不可数基数存在的状况下,米切尔斯基与斯坦豪斯两氏原先的猜想,也就是“决定公理在集合论的最小自然模型​​L(R)英语​​L(R)中成立”这点是对的。

具决定性的游戏

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决定公理所谈论的游戏具有特定的定义,而其定义如次:

考虑所有自然数的无限序列组成的贝尔空间英语Baire space (set theory) 的子集合 ,而其中两个玩家1p2p轮流选取自然数

 

在经过无限步后,可得一序列 ,其中玩家1p获胜当且仅当这序列是 的元素。而决定公理讲的是任何这类的游戏都是决定的,也就是这两个玩家中其中一人有必胜策略。

不是所有的游戏的决定性,都需要动用决定公理来证明。在 是一个闭开集的情况下,那这游戏基本是有限的,也因此是决定的;相似地,若 是一个闭集,那这游戏是决定的。在1975年,唐纳德·A·马丁英语Donald A. Martin证明说若一个游戏必胜策略是一个博雷尔集的话,那这游戏是决定的;此外,在有足够大的基数存在的状况下,所有必胜策略是射影集英语projective set的游戏都是决定的,而决定公理在​​L(R)英语​​L(R)中成立。

另外,决定公理蕴含说对于任何实数线的子空间 而言,巴拿赫-马祖尔游戏英语Banach–Mazur game 是决定的(也因此所有的实数集合都具有贝尔性质)。

决定公理与选择公理的不相容性

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在假定选择公理成立的状况下,我们可以构造决定公理的一个反例。集合  -游戏 中玩家一的所有策略,其大小与连续统相同;而类似地, 是同样游戏中玩家二的所有策略。设  中所有可能序列的集合,并假定  中使玩家一获胜的子序列,那么利用选择公理我们可以为连续统构造一个良序,且我们可以构造出一个任何真初始部分都小于连续统的排序,而我们可利用这样的良序集 来给  上指标,并借此将 给构造成决定公理的一个反例。

我们从空集合  开始。设 是集合  的指标,我们考虑玩家一的所有策略 及玩家二的所有策略 以确保对于任何策略,都会有另一个玩家的策略能将之胜过。对于任何玩家考虑的策略,我们都可生成一个序列,使得另一个玩家获胜。设 是时间轴,其长度为 且这时间轴用于所有的游戏序列中,我们可以利用 上对 超限递归来生成反例:

  1. 首先,考虑玩家一的策略 
  2. 将这策略套用于 -游戏上,(连同玩家一的策略 一起)可生成 这序列,而这序列不属于 ,这是可能的,而这可能性是因为 这些选项的数量与连续统相同,而这数量比 的真初始部分 还要大所致。
  3. 现在(若这序列还不在 之内的话)将这序列加入 之中以表示 失败。(输给 
  4. 现在,考虑玩家二的策略 
  5. 将这策略套用于 -游戏上,(连同玩家二的策略 一起)可生成 这序列,而这序列不属于 ,这是可能的,而这可能性是因为 这些选项的数量与连续统相同,而这数量比 的真初始部分 还要大所致。
  6. 现在(若这序列还不在 之内的话)将这序列加入 之中以表示 失败。(输给 
  7. 利用对 超限归纳法,对  的所有可能策略如是操作,对于所有在这之后不在  中的策略,将之任意分派给  ,使得  的补集。

当这一切完成后,准备 -游戏 ,而在这游戏中,对于任何玩家一的策略 ,存在一个 使得 ,而 的构造方式保证 失败(输给 ),因此 失败;类似地,任何玩家的任何其他策略都会失败,因此决定公理与选择公理不相容。

无穷逻辑与决定公理

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在二十世纪晚期,人们提出多种不同的无穷逻辑英语Infinitary logic,其中一个认为决定公理为真的理由是因为这公理可(在某种无穷逻辑当中)写成以下形式:

 

  OR

 

注:  的所有 -序列。此处的句子长度无限,且在省略号出现处,有可数无穷多的量化词序列。

大基数与决定公理

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决定公理的相容性,与大基数相关公理的相容性息息相关。根据​乌丁英语W. Hugh Woodin的一个定理,不带有选择公理而带有决定公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性,等价于带有选择公理并带有​乌丁基数英语Woodin cardinal策梅洛-弗兰克尔集合论的相容性。由于​乌丁基数是强不可达基数之故,因此若决定公理是相容的,那不可达基数的无限性也是相容的。

此外,若假设有无穷多个乌丁基数,且其上还存在一个可测基数,大于该些乌丁基数,则可得到一个非常强的、关于勒贝格可测的实数集合的理论,而这是因为可以证明决定公理在​​L(R)英语​​L(R)中成立,因此所有在​​L(R)英语​​L(R)中的实数集合都是决定的之故。

参见

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参考资料

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延伸阅读

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