连续统

连续统(英语:Continuum)在数学概念中是指,在实数集里实数可以连续变动,也就是说,实数集是个连续统。[注 1][注 2]

有序集编辑

集合论中,连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集,而且其序满足如下性质[注 3]

  1. 稠密:在任意两个元素之间存在第三个元素
  2. 无洞:有上界的非空子集一定有上确界

实数集即为连续统的例子;实际上它是连续统的原型。以下是连续统的几个例子:

  1. 序结构与实数集同构序同构)的集合,例如实数集里的任何开区间
  2. 扩展的实数轴,以及序同构于它的,比如单位区间
  3. 实的半开半闭区间如 (0,1] 等,以及其序同构。
  4. 拓扑学中有一种比实数线还要长的“长直线
  5. 非标准分析中的超实数

连续统的基数编辑

康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数自然数的基数之间不存在任何基数”,这里的“连续统”指的是实数集;连续统的基数即特指实数集的基数。

拓扑学编辑

在点集拓扑学中,一个连续统是指任何非空的紧致连通度量空间[注 4]

按照以上定义,一个单点集也是连续统。拥有多于一个点的连续统称为非退化的连续统;由连通性和豪斯多夫性质,可知它一定含有无穷个点。连续统理论即是拓扑学中研究拓扑连续统的分支。其中一个有趣的问题是不可分解连续统的存在性:

  • 是否存在这样的连续统 C ,它可以写成两个连续统的并集,且这两个都是 C 的真子集?

答案是肯定的,第一个例子由鲁伊兹·布劳威尔给出[1]

注释编辑

  1. ^ 更严格的描述需要使用序理论拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前,有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值,或者说该量的变化范围是一个连续统
  2. ^ 在数学上,连续统这一术语至少有两种精确定义,但并不等价。另外,连续统一词有时即指实数线或者实数集,这是较旧的叫法;见连续统假设
  3. ^ 具此性质的序称为“稠密无洞”的
  4. ^ 或者非空的紧致连通豪斯多夫空间,但较少用

外部链接编辑

参考编辑

  1. ^ Charles E. Aull, Robert Lowen. Handbook of the history of general topology. Springer. 2001.