草稿:KTHNY 理论

KTHNY 理论描述了二维晶体的熔化。该理论的名称来源于约翰·科斯特利茨、戴维·索利斯、 伯特兰·霍尔珀林、戴维·R·尼尔森、 和 A. Peter Young 的姓氏首字母缩写，他们于 20 世纪 70 年代提出了这一理论。它是除了二维Ising 模型和二维XY 模型之外， 少数可以解析求解，并预测温度$T>0$时相变的理论之一 。

主要思想

二维晶体的熔化是由拓扑缺陷的解离介导的，这会破坏晶体的有序性。 2016 年，科斯特利茨和戴维·索利斯因其发明而获得诺贝尔物理学奖，该发明解释了热激发的虚位错对如何在加热过程中引起晶体软化（由重正化群理论描述）。剪切弹性随着位错的分离同时消失，表明存在流体相。 基于这项工作，David Nelson 和 Bertrand Halperin 表明，所得的六角相尚未成为各向同性的流体。从六方晶体（二维中最密堆积结构）开始，六角相具有六重取向场，类似于液晶。取向序仅因第二类拓扑缺陷（即向错）的分离而消失。彼得·杨计算了晶相和六角相转变时发散关联长度的临界指数。 KTHNY 理论预测了两个连续的相变，从而排除了潜热和相共存的可能性。热力学相可以根据离散与连续的平移序和取向序来区分。其中一个相变是将具有准长程的平移序和完美长程的取向序的固相与六角相分离。六角相表现出短程平移序和准长程的取向序。第二个相变将六角相与各向同性流体分离，其中平移序和取向序都是短程的。该系统受临界涨落主导，因为对于连续相变，热力学相之间的能量差在相变点附近消失。这意味着有序区域和无序区域在空间和时间上会发生强烈涨落。这些区域的尺寸在相变点附近急剧增大，并在相变点处发散。在这一点处，对称性破缺与对称域的模式是分形的。分形的特点是标度不变性——它们在任意尺度上或任意放大时看起来都相似（这在任何大于原子距离的尺度上都是正确的）。标度不变性是利用重正化群理论描述相变的基础。这两种转变都伴随着自发对称性破缺。与三维熔化不同，平移和取向对称性破坏不需要在二维中同时出现，因为两种不同类型的拓扑缺陷会破坏不同类型的序。

背景

Michael Kosterlitz 和 David Thouless 试图解决关于二维晶体的一个矛盾：一方面， Mermin-Wagner 定理声称，连续序参量的对称破缺不可能存在于二维中。这意味着，二维晶体中完美的长程位置序不可能存在。另一方面，伯尼·阿尔德和 Thomas E. Wainwright 早期的计算机模拟表明，二维中存在结晶现象。 KTHNY 理论隐含地表明，周期性不是固体的必要标准（这已经由玻璃等非晶态固体的存在所展露）。按照 M. Kosterlitz 的观点，有限剪切弹性定义了二维的固体，包括准晶体。

二维的结构因子

图 1：a) 各向同性流体、b) 六角相、c) 二维晶体 的结构因子。

所有三个热力学相及其相应的对称性都可以用结构因子来可视化： $S({\vec {q}})={\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{i,j}e^{-i{\vec {q}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})}\right\rangle$ 。双重求和遍历了粒子 i 和 j 的所有位置，括号表示各种位型的平均值。各向同性相的特征是，在 $q=2\pi /a$ 处有同心圆环，其中 $a=1/{\sqrt {\rho }}$ 是通过二维粒子密度 $\rho$ 计算得到的平均粒子间距。(密堆积) 结晶相的特征是基于取向序的六重对称性。与三维不同，三维中的峰值是任意尖锐的（$\delta$-峰)，二维峰具有有限的宽度，可用洛伦兹曲线描述。这是因为，正如 Mermin-Wagner 定理所预测的那样，平移序仅仅是准长程的。六角相由六个部分识别，反映了准长程的取向序。图 1 的结构因子是根据胶体单层的位置计算得出的（由于整体的视野有限（矩形），高强度的十字线是由于傅里叶变换产生的伪影）。

位错间的相互作用

图 2：如果杨氏模量变为 $16\pi$，弹性不连续消失，晶体熔化。

为了分析由位错解离而引起的熔化，首先从能量 $H_{loc}$ 作为两个位错之间距离的函数开始考虑。二维中的孤立位错是六重晶格的局部扭曲，其中粒子有五个和七个最近邻粒子，而不是六个。值得注意的是，由于拓扑原因，位错只能成对产生。位错的束缚对是一个分别具有 5-7-7-5 个最近邻粒子的局部构型。

$H_{loc}=-{\frac {a^{2}Y}{8\pi }}\sum _{k\neq l}{\Big [}{\vec {b}}({\vec {r}}_{k})\cdot {\vec {b}}({\vec {r}}_{l})\ln {\frac {\Delta {\vec {r}}_{k,l}}{a}}-{\frac {[{\vec {b}}({\vec {r}}_{k})\cdot \Delta {\vec {r}}_{k,l}][{\vec {b}}({\vec {r}}_{l})\cdot \Delta {\vec {r}}_{k,l}]}{\Delta r_{i,j}^{2}}}{\Big ]}+E_{c}\cdot N_{loc}.$

双重求和遍历了缺陷对 $k$ 和 $l$ 的所有位置，$\Delta {\vec {r}}_{k,l}={\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{l}$表示位错之间的位移。${\vec {b}}$ 是伯格斯矢量，表示 Orte ${\vec {r}}_{k}$ 处位错的方向。括号中的第二项表示，由于能量原因，位错优先反平行排列。由于缺陷之间的距离较大，其贡献很小，可忽略不计。主要贡献来自于对数项（括号中的第一项），它描述了位错对的能量如何随距离的增加而发散。由于两个位错之间的最短距离近似地由平均粒子距离 $a$ 给出，距离对于 $a$ 的缩放阻止了对数 $\ln {\frac {\Delta {\vec {r}}_{k,l}}{a}}$ 变为负数。相互作用的强度与杨氏模量 $Y$ 成正比，由晶格的刚度给出。为了从未受干扰的晶格中产生位错，需要比平均粒子距离 $a$ 更小尺度的位移。与这种位移相关的离散能量通常称为核心能量 $E_{c}$，并且必须对每个$N_{loc}$位错单独计数（最后一项）。

对数项主导的一个简单论证是，孤立位错引起的应变大小根据以$\propto {\frac {1}{r}}$的形式衰减。假设胡克近似，相关应力与应变呈线性关系。对应变 (~1/r) 进行积分可得与对数成比例的能量。能量的对数依赖距离是 KTHNY 理论成为为数不多的可以解析求解的相变理论之一的原因：在统计物理学中，必须计算配分函数，例如由玻尔兹曼分布 $e^{\frac {H_{loc}}{k_{B}T}}$ 给出的位错对的所有可能位型的概率分布 。这里， $k_{B}T$是具有玻尔兹曼常数 $k_{B}$ 的热能。对于统计物理中的大多数问题，由于粒子和自由度的数量巨大，因此很难求解配分函数。在 KTHNY 理论中，情况有所不同，因为位错的能量函数 $H_{loc}$ 是对数的形式，和来自玻尔兹曼因子的 e 指数函数互为反函数，可以很容易地求解。

为了简单起见，我们只想考虑主导的对数项来计算两个位错之间的均方距离：

$\langle r^{2}\rangle ={\frac {\int r^{2}\cdot e^{-{\frac {Ya\ln(r/a)}{4\pi k_{B}T}}}d^{2}r}{\int e^{-{\frac {Ya\ln(r/a)}{4\pi k_{B}T}}}d^{2}r}}\sim {\frac {2-{\frac {Y\cdot a}{4\pi k_{B}T}}}{4-{\frac {Y\cdot a}{4\pi k_{B}T}}}}.$

$\langle r^{2}\rangle \to 0$ 均方距离在低温下趋于零——位错将会消失，晶体中没有缺陷。如果分母趋向于零，表达式 $\langle r^{2}\rangle \to \infty$。发生这种情况时，${\frac {Y\cdot a}{4\pi k_{B}T}}=4$。位错之间的发散距离意味着，它们分离并且没有形成结合对。如果几个孤立的位错受到热激发，并且熔化温度 $T_{m}$ 由杨氏模量给出：

${\frac {Y\cdot a}{k_{B}T_{m}}}=16\pi .$

无量纲量 $16\pi$ 是二维熔化的通用常数，与所研究系统的细节无关。本例仅研究了一对孤立的位错。一般而言，熔化过程中会出现大量位错。孤立位错的应变场将被屏蔽，晶体在相变附近会变软；杨氏模量会因位错而下降。在 KTHNY 理论中，位错对弹性的反馈，尤其是对作为能量函数中的耦合常数的杨氏模量的反馈，是在重正化群理论的框架内描述的。

弹性的重整化

如果加热二维晶体，由于相变附近的热涨落，虚位错对将被激发。虚位错的意思是，平均热能不够大，不足以克服（两倍于）核能量并分离（解离）位错对。尽管如此，由于热涨落，位错对可以在非常短的时间尺度上局部出现，然后再次湮灭。尽管它们会湮灭，但它们对弹性有可察觉的影响：它们使晶体变软。该原理完全类似于量子电动力学（QED）中计算电子的裸电荷。在 QED 中，由于真空的量子涨落，电子的电荷被虚电子-正电子对屏蔽。粗略地说，可以总结一下：如果晶体由于虚位错对的存在而软化，则产生额外虚位错的概率（逸度）$y$ 会增加，与位错的核心能量的玻尔兹曼因子 $y=e^{\frac {E_{C}}{k_{B}T}}$ 成正比。如果存在额外的（虚）位错，晶体将变得更软。如果晶体进一步变软，逸度将进一步增加等等。 David Nelson、Bertrand Halperin 和 Peter Young 分别以数学上精确的方式，利用逸度和弹性的重整化群理论，对此进行了阐述：在连续相变附近，系统变得临界——这意味着它在所有 $\gg a$ 的长度尺度上呈自相似性。通过将所有长度按因子 $l$ 缩放，能量 $E\to E(l)$ 和逸度 $y\to y(l)$ 将依赖于这个因子，但由于自相似性，系统必须同时保持不变。特别是位错的能量函数（哈密顿量）在结构上必须是不变的。经过长度尺度变换（缩小以显示更大的区域意味着要计算更多的位错）后，系统的软化现在被重整化的（约化的）弹性所描述。弹性和逸度的递归关系为：

${\frac {dY^{-1}(l)}{dl}}={\frac {3}{2}}\pi y^{2}e^{Y(l)/8\pi }I_{0}{\Big (}Y(l)/8\pi {\Big )}-{\frac {3}{4}}\pi y^{2}e^{Y(l)/8\pi }I_{1}{\Big (}Y(l)/8\pi {\Big )},$

${\frac {dy(l)}{dl}}={\Big (}2-{\frac {Y(l)}{8\pi }}{\Big )}y(l)+2\pi y^{2}e^{Y(l)/16\pi }I_{0}{\Big (}Y(l)/8\pi {\Big )}.$

对于剪切模量和体积模量，可以推导出类似的递归关系。 $I_{0}$ 和 $I_{1}$ 都是贝塞尔函数。根据起点不同，递归关系可以朝两个方向发展。$y\to 0$意味着没有缺陷，整体是结晶的。 $y\to \infty$ 意味着任意多的缺陷，整体是流动的。递归关系在 $y=0$ 处有一个不动点，其中 $E_{R}/k_{B}T=16\pi$ 。现在， $E_{R}$ 是重正化值，而不是裸值。图 2 显示了杨氏模量与无量纲控制参数 $\Gamma$ 的关系。它测量两个粒子之间的排斥能与热能的比率（在本实验中是恒定的）。它可以被解释为压力或温度的倒数。黑色曲线是$T=0$ 时的完美六方晶体。蓝色曲线来自计算机模拟，显示$T>0$时由于晶格振动导致的约化的弹性。红色曲线是遵循递归关系的重整化，杨氏模量在 $16\pi$ 处不连续地降为零。绿松石符号来自胶体单层弹性测量，并确认熔点为$Y_{R}=16\pi$。

向错之间的相互作用

图 3：六角相中的弗兰克常数：在熔化时，它会在熔化到各向同性流体时降至 $72/\pi$ 以下，并在向晶体转变时发散。

位错解离后，系统进入六角相。为了到达各向同性流体，位错（5-7 对）必须解离成由孤立的 5 重粒子和孤立的 7 重粒子组成的向错。可以使用与位错相互作用类似的论据来论证向错的相互作用。同样，由于拓扑原因，向错只能成对产生。从能量 $H_{cli}$ 作为两个向错之间距离的函数出发，可以发现：

$H_{cli}=-{\frac {F_{A}\cdot \pi }{36}}\sum _{k\neq l}s({\vec {r}}_{k})\cdot s({\vec {r}}_{l})\ln {\frac {\Delta {\vec {r}}_{k,l}}{a}}+E_{s}\cdot N_{cli}.$

对数项再次占据主导地位。相互作用的符号决定了五重向错和七重向错的缠绕数为 $+\pi /3$ 和 $-\pi /3$，使得符号相反的荷相互吸引。整体强度由抗扭转刚度给出。耦合常数 $F_{A}$ 按照液晶理论，称为弗兰克常数。$E_{s}$ 是位错分离成两个向错的离散能量。两个向错之间距离的平方可以用与位错相同的方式计算，只有表示耦合常数的因子需要相应地改变。它在 ${\frac {F_{A}\cdot \pi }{36}}=4$ 处发散。如果存在未结合的向错，则系统会从六角相熔化为各向同性液体。这个转变温度 $T_{i}$ 由弗兰克常数给出：

${\frac {F_{A}}{k_{B}T_{i}}}=72/\pi .$

$72/\pi$ 又是一个通用常数。图 3 显示了胶体单层的取向刚度的测量结果；弗兰克常数在$T_{i}$时会降至该通用常数以下 。

临界指数

通常，科斯特利茨-索利斯相变具有连续的临界点，可以用无序和有序区域的自相似颗粒来表征。在二阶相变中，测量这些区域大小的相关长度代数地发散：

$\xi =\xi _{0}{\Big (}{\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}{\Big )}^{-\nu }$

其中，$T_{c}$是相变温度， $\nu$ 是一个临界指数。Kosterlitz-Thouless 转变的另一个特殊之处是，二维中的平移关联长度和取向关联长度呈指数发散（有关这些关联函数的定义，另请参见六角相）：

$\xi =\xi _{0}\cdot e^{{\Big (}{\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}{\Big )}^{-\nu }}.$

在六角-晶体相变处，平移关联长度发散，临界指数变为 ${\bar {\nu }}=0{,}36963\dots$。D. Nelson 和 B. Halperin 预测，弗兰克常数在 $T_{i}$ 处也以 ${\bar {\nu }}$ 的指数形式发散。红色曲线显示了涵盖临界行为实验数据的拟合；临界指数测量为 ${\bar {\nu }}=0{,}35\pm 0{,}02$。该值与 KTHNY 理论的预测在误差范围内相符。六角相-各向同性相变时，取向关联长度预计按 $\nu =0{,}5$ 的指数形式发散。这个合理的值与平均场理论兼容，意味着弗兰克常数的重整化是不必要的。由于向错而增加的取向刚度屏蔽作用不必考虑——这已经由经常出现在$T_{i}$ 。实验测量了临界指数$\nu =0{,}5\pm 0{,}03$。KTHNY 理论已在实验 和计算机模拟中进行了检验。 对于短程粒子相互作用（硬盘），模拟发现六角相变为各向同性相变的弱一级转变，略超出了 KTHNY 理论。