草稿:KTHNY 理論

KTHNY 理論描述了二維晶體的熔化。該理論的名稱來源於約翰·科斯特利茨、戴維·索利斯、 伯特蘭·霍爾珀林、戴維·R·尼爾森、 和 A. Peter Young 的姓氏首字母縮寫，他們於 20 世紀 70 年代提出了這一理論。它是除了二維Ising 模型和二維XY 模型之外， 少數可以解析求解，並預測溫度$T>0$時相變的理論之一 。

主要思想

二維晶體的熔化是由拓撲缺陷的解離介導的，這會破壞晶體的有序性。 2016 年，科斯特利茨和戴維·索利斯因其發明而獲得諾貝爾物理學獎，該發明解釋了熱激發的虛位錯對如何在加熱過程中引起晶體軟化（由重正化群理論描述）。剪切彈性隨着位錯的分離同時消失，表明存在流體相。 基於這項工作，David Nelson 和 Bertrand Halperin 表明，所得的六角相尚未成為各向同性的流體。從六方晶體（二維中最密堆積結構）開始，六角相具有六重取向場，類似於液晶。取向序僅因第二類拓撲缺陷（即向錯）的分離而消失。彼得·楊計算了晶相和六角相轉變時發散關聯長度的臨界指數。 KTHNY 理論預測了兩個連續的相變，從而排除了潛熱和相共存的可能性。熱力學相可以根據離散與連續的平移序和取向序來區分。其中一個相變是將具有準長程的平移序和完美長程的取向序的固相與六角相分離。六角相表現出短程平移序和准長程的取向序。第二個相變將六角相與各向同性流體分離，其中平移序和取向序都是短程的。該系統受臨界漲落主導，因為對於連續相變，熱力學相之間的能量差在相變點附近消失。這意味着有序區域和無序區域在空間和時間上會發生強烈漲落。這些區域的尺寸在相變點附近急劇增大，並在相變點處發散。在這一點處，對稱性破缺與對稱域的模式是分形的。分形的特點是標度不變性——它們在任意尺度上或任意放大時看起來都相似（這在任何大於原子距離的尺度上都是正確的）。標度不變性是利用重正化群理論描述相變的基礎。這兩種轉變都伴隨着自發對稱性破缺。與三維熔化不同，平移和取向對稱性破壞不需要在二維中同時出現，因為兩種不同類型的拓撲缺陷會破壞不同類型的序。

背景

Michael Kosterlitz 和 David Thouless 試圖解決關於二維晶體的一個矛盾：一方面， Mermin-Wagner 定理聲稱，連續序參量的對稱破缺不可能存在於二維中。這意味着，二維晶體中完美的長程位置序不可能存在。另一方面，伯尼·阿爾德和 Thomas E. Wainwright 早期的計算機模擬表明，二維中存在結晶現象。 KTHNY 理論隱含地表明，周期性不是固體的必要標準（這已經由玻璃等非晶態固體的存在所展露）。按照 M. Kosterlitz 的觀點，有限剪切彈性定義了二維的固體，包括准晶體。

二維的結構因子

圖 1：a) 各向同性流體、b) 六角相、c) 二維晶體 的結構因子。

所有三個熱力學相及其相應的對稱性都可以用結構因子來可視化： $S({\vec {q}})={\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{i,j}e^{-i{\vec {q}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})}\right\rangle$ 。雙重求和遍歷了粒子 i 和 j 的所有位置，括號表示各種位型的平均值。各向同性相的特徵是，在 $q=2\pi /a$ 處有同心圓環，其中 $a=1/{\sqrt {\rho }}$ 是通過二維粒子密度 $\rho$ 計算得到的平均粒子間距。(密堆積) 結晶相的特徵是基於取向序的六重對稱性。與三維不同，三維中的峰值是任意尖銳的（$\delta$-峰)，二維峰具有有限的寬度，可用洛倫茲曲線描述。這是因為，正如 Mermin-Wagner 定理所預測的那樣，平移序僅僅是准長程的。六角相由六個部分識別，反映了准長程的取向序。圖 1 的結構因子是根據膠體單層的位置計算得出的（由於整體的視野有限（矩形），高強度的十字線是由於傅里葉變換產生的偽影）。

位錯間的相互作用

圖 2：如果楊氏模量變為 $16\pi$，彈性不連續消失，晶體熔化。

為了分析由位錯解離而引起的熔化，首先從能量 $H_{loc}$ 作為兩個位錯之間距離的函數開始考慮。二維中的孤立位錯是六重晶格的局部扭曲，其中粒子有五個和七個最近鄰粒子，而不是六個。值得注意的是，由於拓撲原因，位錯只能成對產生。位錯的束縛對是一個分別具有 5-7-7-5 個最近鄰粒子的局部構型。

$H_{loc}=-{\frac {a^{2}Y}{8\pi }}\sum _{k\neq l}{\Big [}{\vec {b}}({\vec {r}}_{k})\cdot {\vec {b}}({\vec {r}}_{l})\ln {\frac {\Delta {\vec {r}}_{k,l}}{a}}-{\frac {[{\vec {b}}({\vec {r}}_{k})\cdot \Delta {\vec {r}}_{k,l}][{\vec {b}}({\vec {r}}_{l})\cdot \Delta {\vec {r}}_{k,l}]}{\Delta r_{i,j}^{2}}}{\Big ]}+E_{c}\cdot N_{loc}.$

雙重求和遍歷了缺陷對 $k$ 和 $l$ 的所有位置，$\Delta {\vec {r}}_{k,l}={\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{l}$表示位錯之間的位移。${\vec {b}}$ 是伯格斯向量，表示 Orte ${\vec {r}}_{k}$ 處位錯的方向。括號中的第二項表示，由於能量原因，位錯優先反平行排列。由於缺陷之間的距離較大，其貢獻很小，可忽略不計。主要貢獻來自於對數項（括號中的第一項），它描述了位錯對的能量如何隨距離的增加而發散。由於兩個位錯之間的最短距離近似地由平均粒子距離 $a$ 給出，距離對於 $a$ 的縮放阻止了對數 $\ln {\frac {\Delta {\vec {r}}_{k,l}}{a}}$ 變為負數。相互作用的強度與楊氏模量 $Y$ 成正比，由晶格的剛度給出。為了從未受干擾的晶格中產生位錯，需要比平均粒子距離 $a$ 更小尺度的位移。與這種位移相關的離散能量通常稱為核心能量 $E_{c}$，並且必須對每個$N_{loc}$位錯單獨計數（最後一項）。

對數項主導的一個簡單論證是，孤立位錯引起的應變大小根據以$\propto {\frac {1}{r}}$的形式衰減。假設胡克近似，相關應力與應變呈線性關係。對應變 (~1/r) 進行積分可得與對數成比例的能量。能量的對數依賴距離是 KTHNY 理論成為為數不多的可以解析求解的相變理論之一的原因：在統計物理學中，必須計算配分函數，例如由玻爾茲曼分佈 $e^{\frac {H_{loc}}{k_{B}T}}$ 給出的位錯對的所有可能位型的概率分佈 。這裏， $k_{B}T$是具有玻爾茲曼常數 $k_{B}$ 的熱能。對於統計物理中的大多數問題，由於粒子和自由度的數量巨大，因此很難求解配分函數。在 KTHNY 理論中，情況有所不同，因為位錯的能量函數 $H_{loc}$ 是對數的形式，和來自玻爾茲曼因子的 e 指數函數互為反函數，可以很容易地求解。

為了簡單起見，我們只想考慮主導的對數項來計算兩個位錯之間的均方距離：

$\langle r^{2}\rangle ={\frac {\int r^{2}\cdot e^{-{\frac {Ya\ln(r/a)}{4\pi k_{B}T}}}d^{2}r}{\int e^{-{\frac {Ya\ln(r/a)}{4\pi k_{B}T}}}d^{2}r}}\sim {\frac {2-{\frac {Y\cdot a}{4\pi k_{B}T}}}{4-{\frac {Y\cdot a}{4\pi k_{B}T}}}}.$

$\langle r^{2}\rangle \to 0$ 均方距離在低溫下趨於零——位錯將會消失，晶體中沒有缺陷。如果分母趨向於零，表達式 $\langle r^{2}\rangle \to \infty$。發生這種情況時，${\frac {Y\cdot a}{4\pi k_{B}T}}=4$。位錯之間的發散距離意味着，它們分離並且沒有形成結合對。如果幾個孤立的位錯受到熱激發，並且熔化溫度 $T_{m}$ 由楊氏模量給出：

${\frac {Y\cdot a}{k_{B}T_{m}}}=16\pi .$

無量綱量 $16\pi$ 是二維熔化的通用常數，與所研究系統的細節無關。本例僅研究了一對孤立的位錯。一般而言，熔化過程中會出現大量位錯。孤立位錯的應變場將被屏蔽，晶體在相變附近會變軟；楊氏模量會因位錯而下降。在 KTHNY 理論中，位錯對彈性的反饋，尤其是對作為能量函數中的耦合常數的楊氏模量的反饋，是在重正化群理論的框架內描述的。

彈性的重整化

如果加熱二維晶體，由於相變附近的熱漲落，虛位錯對將被激發。虛位錯的意思是，平均熱能不夠大，不足以克服（兩倍於）核能量並分離（解離）位錯對。儘管如此，由於熱漲落，位錯對可以在非常短的時間尺度上局部出現，然後再次湮滅。儘管它們會湮滅，但它們對彈性有可察覺的影響：它們使晶體變軟。該原理完全類似於量子電動力學（QED）中計算電子的裸電荷。在 QED 中，由於真空的量子漲落，電子的電荷被虛電子-正電子對屏蔽。粗略地說，可以總結一下：如果晶體由於虛位錯對的存在而軟化，則產生額外虛位錯的概率（逸度）$y$ 會增加，與位錯的核心能量的玻爾茲曼因子 $y=e^{\frac {E_{C}}{k_{B}T}}$ 成正比。如果存在額外的（虛）位錯，晶體將變得更軟。如果晶體進一步變軟，逸度將進一步增加等等。 David Nelson、Bertrand Halperin 和 Peter Young 分別以數學上精確的方式，利用逸度和彈性的重整化群理論，對此進行了闡述：在連續相變附近，系統變得臨界——這意味着它在所有 $\gg a$ 的長度尺度上呈自相似性。通過將所有長度按因子 $l$ 縮放，能量 $E\to E(l)$ 和逸度 $y\to y(l)$ 將依賴於這個因子，但由於自相似性，系統必須同時保持不變。特別是位錯的能量函數（哈密頓量）在結構上必須是不變的。經過長度尺度變換（縮小以顯示更大的區域意味着要計算更多的位錯）後，系統的軟化現在被重整化的（約化的）彈性所描述。彈性和逸度的遞歸關係為：

${\frac {dY^{-1}(l)}{dl}}={\frac {3}{2}}\pi y^{2}e^{Y(l)/8\pi }I_{0}{\Big (}Y(l)/8\pi {\Big )}-{\frac {3}{4}}\pi y^{2}e^{Y(l)/8\pi }I_{1}{\Big (}Y(l)/8\pi {\Big )},$

${\frac {dy(l)}{dl}}={\Big (}2-{\frac {Y(l)}{8\pi }}{\Big )}y(l)+2\pi y^{2}e^{Y(l)/16\pi }I_{0}{\Big (}Y(l)/8\pi {\Big )}.$

對於剪切模量和體積模量，可以推導出類似的遞歸關係。 $I_{0}$ 和 $I_{1}$ 都是貝索函數。根據起點不同，遞歸關係可以朝兩個方向發展。$y\to 0$意味着沒有缺陷，整體是結晶的。 $y\to \infty$ 意味着任意多的缺陷，整體是流動的。遞歸關係在 $y=0$ 處有一個不動點，其中 $E_{R}/k_{B}T=16\pi$ 。現在， $E_{R}$ 是重正化值，而不是裸值。圖 2 顯示了楊氏模量與無量綱控制參數 $\Gamma$ 的關係。它測量兩個粒子之間的排斥能與熱能的比率（在本實驗中是恆定的）。它可以被解釋為壓力或溫度的倒數。黑色曲線是$T=0$ 時的完美六方晶體。藍色曲線來自計算機模擬，顯示$T>0$時由於晶格振動導致的約化的彈性。紅色曲線是遵循遞歸關係的重整化，楊氏模量在 $16\pi$ 處不連續地降為零。綠松石符號來自膠體單層彈性測量，並確認熔點為$Y_{R}=16\pi$。

向錯之間的相互作用

圖 3：六角相中的弗蘭克常數：在熔化時，它會在熔化到各向同性流體時降至 $72/\pi$ 以下，並在向晶體轉變時發散。

位錯解離後，系統進入六角相。為了到達各向同性流體，位錯（5-7 對）必須解離成由孤立的 5 重粒子和孤立的 7 重粒子組成的向錯。可以使用與位錯相互作用類似的論據來論證向錯的相互作用。同樣，由於拓撲原因，向錯只能成對產生。從能量 $H_{cli}$ 作為兩個向錯之間距離的函數出發，可以發現：

$H_{cli}=-{\frac {F_{A}\cdot \pi }{36}}\sum _{k\neq l}s({\vec {r}}_{k})\cdot s({\vec {r}}_{l})\ln {\frac {\Delta {\vec {r}}_{k,l}}{a}}+E_{s}\cdot N_{cli}.$

對數項再次佔據主導地位。相互作用的符號決定了五重向錯和七重向錯的纏繞數為 $+\pi /3$ 和 $-\pi /3$，使得符號相反的荷相互吸引。整體強度由抗扭轉剛度給出。耦合常數 $F_{A}$ 按照液晶理論，稱為弗蘭克常數。$E_{s}$ 是位錯分離成兩個向錯的離散能量。兩個向錯之間距離的平方可以用與位錯相同的方式計算，只有表示耦合常數的因子需要相應地改變。它在 ${\frac {F_{A}\cdot \pi }{36}}=4$ 處發散。如果存在未結合的向錯，則系統會從六角相熔化為各向同性液體。這個轉變溫度 $T_{i}$ 由弗蘭克常數給出：

${\frac {F_{A}}{k_{B}T_{i}}}=72/\pi .$

$72/\pi$ 又是一個通用常數。圖 3 顯示了膠體單層的取向剛度的測量結果；弗蘭克常數在$T_{i}$時會降至該通用常數以下 。

臨界指數

通常，科斯特利茨-索利斯相變具有連續的臨界點，可以用無序和有序區域的自相似顆粒來表徵。在二階相變中，測量這些區域大小的相關長度代數地發散：

$\xi =\xi _{0}{\Big (}{\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}{\Big )}^{-\nu }$

其中，$T_{c}$是相變溫度， $\nu$ 是一個臨界指數。Kosterlitz-Thouless 轉變的另一個特殊之處是，二維中的平移關聯長度和取向關聯長度呈指數發散（有關這些關聯函數的定義，另請參見六角相）：

$\xi =\xi _{0}\cdot e^{{\Big (}{\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}{\Big )}^{-\nu }}.$

在六角-晶體相變處，平移關聯長度發散，臨界指數變為 ${\bar {\nu }}=0{,}36963\dots$。D. Nelson 和 B. Halperin 預測，弗蘭克常數在 $T_{i}$ 處也以 ${\bar {\nu }}$ 的指數形式發散。紅色曲線顯示了涵蓋臨界行為實驗數據的擬合；臨界指數測量為 ${\bar {\nu }}=0{,}35\pm 0{,}02$。該值與 KTHNY 理論的預測在誤差範圍內相符。六角相-各向同性相變時，取向關聯長度預計按 $\nu =0{,}5$ 的指數形式發散。這個合理的值與平均場理論兼容，意味着弗蘭克常數的重整化是不必要的。由於向錯而增加的取向剛度屏蔽作用不必考慮——這已經由經常出現在$T_{i}$ 。實驗測量了臨界指數$\nu =0{,}5\pm 0{,}03$。KTHNY 理論已在實驗 和計算機模擬中進行了檢驗。 對於短程粒子相互作用（硬盤），模擬發現六角相變為各向同性相變的弱一級轉變，略超出了 KTHNY 理論。