X²+1素数

x²+1素数问题是一个未解决的数学问题，其陈述为：是否有无穷个正整数x，使得x²+1为素数？

这个问题得到许多数论学者的关注。有学者认为这个问题比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，形如x²+1的数比p+2稀少，所以x²+1为素数的概率更小。^[1]

10000以内的x²+1素数为（ A002496）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

历史编辑

在1912年的国际数学家大会上，爱德蒙·兰道就素数理论的发展和黎曼ζ函数作演说，当中他提到有四个关于素数的问题，是“以目前的科学状况无法攻克”的。第四个问题便是：“函数u²+1在u取整数值时是否给出了无穷多个质数？”^[2]

更一般地，设f(x)=ax^2+bx+c为整系数二次函数。可以证明，若f(x)能取无穷多次的质数值，那么a, b, c须符合以下条件：

一个广义化的猜想便是，若a为正数且a, b, c符合上述3个条件，那么f(x)便能取无穷多次的质数值（见布尼亚科夫斯基猜想）。^[3]

1923年，英国数学家哈代和李特尔伍德猜测^[2]：

\#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}

根据弗里德兰德-伊万涅茨定理（英语：Friedlander–Iwaniec theorem），存在无穷多个形如 $a^{2}+b^{4}$ 的质数。

在1978年，亨里克·伊万涅茨（英语：Henryk Iwaniec）证明了存在无穷多个x，使得 $x^{2}+1$ 至多是两个质数的积。

由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。^{[来源请求]}发现许许多多X²+1合数有平方因子

例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=1025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。

这是一个佩尔方程形式：

$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$

38²-5×17²=-1；70²-29×13²=-1。

^ “10000个科学难题”数学编委会编. 10000个科学难题（数学卷）. 科学出版社. 2009: 102 [2014-10-25]. ISBN 9787030242679. （原始内容存档于2016-03-07）.
^ ^2.0 ^2.1 János Pintz. LANDAU'S PROBLEMS ON PRIMES (PDF). [2014-10-25]. （原始内容存档 (PDF)于2013-10-30）.
^ 《数学辞海》编辑委员会编. 數學辭海（第六卷）. 山西教育出版社、中国科学技术出版社、东南大学出版社. 2002: 660 [2014-10-25]. ISBN 9787544024013. （原始内容存档于2014-10-25）.