歐米加常數
歐米加常數是一個數學常數,定義為:
歐米加常數 | |
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識別 | |
種類 | 無理數 超越數 |
符號 | |
位數數列編號 | ![]() |
性質 | |
定義 | |
以此為根的多項式或函數 | |
表示方式 | |
值 | 0.5671432904... W(1),W是朗伯W函數 |
二進制 | 0.100100010011000001001101… |
十進制 | 0.567143290409783872999968… |
十六進制 | 0.91304D7C74B2BA5EAFDDAA62… |
它是W(1)的值,其中W是朗伯W函數。
Ω的值大約為0.5671432904097838729999686622 (OEIS數列A030178)。它具有以下的性質:
或
我們可以用迭代的方法來計算Ω,從Ω0開始,用下面的數列進行迭代:
當n→∞時,這個數列收斂於Ω。
無理數和超越數
編輯我們可以用e是超越數的事實來證明Ω是無理數。如果Ω是有理數,則存在整數p和q,使得
所以
這樣,e就是p次代數數。但是,e實際上是超越數,所以Ω一定是無理數。
Ω實際上也是一個超越數,這可以由林德曼-魏爾斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代數數,exp(Ω)將會是超越數,exp−1(Ω)也是超越數。但這與它是代數數的假設矛盾。
參見
編輯參考文獻
編輯- Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).
- Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.