艾倫伯格-斯廷羅德公理

在數學的代數拓撲學中，艾倫伯格－斯廷羅德公理（英語：Eilenberg–Steenrod axioms）是拓撲空間的同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子，是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調（英語：singular homology）。

同調論可以定義為符合艾倫伯格－斯廷羅德公理的函子列。這個公理化方法在1945年建立，可以用來證明只要符合公理的同調論都會有的共同結果，例如邁耶－菲托里斯序列（英語：Mayer–Vietoris sequence）。

如果省略了其中的維數公理，那麼其餘的公理所定義的是廣義同調論（英語：extraordinary homology theory）。最早出現的廣義同調論是K-理論和配邊理論（英語：cobordism theory）。

正式定義

艾倫伯格－斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X, A)範疇到阿貝爾群範疇的函子列 $H_{n}$ ，連同稱為邊界映射的自然變換 $\partial :H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ 。（在此H_i − 1(A)是H_i − 1(A,∅)的簡記。）這套公理是：

恆同映射 $\mathrm {id} :(X,A)\to (X,A)$ 在同調群中誘導的同態 $H_{n}(\mathrm {id} ):H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,A)$ 是恆同同態。
設有空間偶的映射 $f:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ ， $g:(Y,B)\rightarrow (Z,C)$ ，那麼 $H_{n}(g)\circ H_{n}(f)=H_{n}(g\circ f).$
設有空間偶的映射 $f:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ ，那麼 $\partial \circ H_{n}(f)=H_{n-1}(f|_{A})\circ \partial .$
同倫：同倫的映射在同調群中誘導相同的同態。換言之，如果 $g:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ 同倫於 $h:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ ，那麼其誘導同態相同：
$H_{n}(g)=H_{n}(h):H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)$ 對所有n ≥ 0。
切除：設(X, A)是空間偶，U是X的子集，使得U的閉包包含在A的內部之中。那麼包含映射 $i:(X-U,A-U)\to (X,A)$ 在同調群中誘導的是同構。
維數：設P是單點空間，那麼 $H_{n}(P)=0$ 對所有n ≠ 0。
正合：任何空間偶(X, A)經由包含映射 $i:A\to X$ 和 $j:X\to (X,A)$ ，都在同調群中誘導出長正合序列：
$\cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .$

約翰·米爾諾增加了一條公理：

可加性：設

X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}

是拓撲空間族

X_{\alpha }

的不交併，那麼

H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).

設P是單點空間，那麼 $H_{0}(P)$ 稱為係數群。

結果

同調群的一些結果可以用公理推導出，例如同倫等價空間的同調群是同構的。

一些較為簡單的空間的同調群可以直接從公理算出，比如n-球面。因此可以推導出(n-1)-球面不是n-球的收縮。用這個結果可以給出布勞威爾不動點定理的一個證明。

維數公理

如果一個同調論符合差不多所有艾倫伯格－斯廷羅德公理，但維數公理除外，便稱為廣義同調論（英語：extraordinary homology theory）（對偶概念為廣義上同調論）。一些重要例子在1950年代發現，例如拓撲K-理論和配邊理論（英語：cobordism theory），都是廣義上同調論，並有與之對偶的同調論。

參看

Zig-zag lemma（英語：Zig-zag lemma）

參考文獻

Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
Glen Bredon（英語：Glen Bredon）: Topology and Geometry, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
James W. Vick. Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology 2nd edition. Springer-Verlag. 1994.