逐點乘積

此條目介紹的是函數的逐點乘積。關於矩陣的逐點乘積，請見「阿達瑪乘積 (矩陣)」。

兩個函數的逐點乘積（英語：pointwise product）由兩函數在定義域上的每一值的映射相乘得到，仍是一個函數。若f 和g 都是定義域為X，上域為Y 的函數，且Y 中的元素可以與其他數相乘（例如Y可以是某個數集），則f 與g 的逐點乘積是從X 到Y 的另一個函數，這個函數將x ∈ X 映射到f(x)g(x)。

形式定義

令X 和Y 為集合，令乘法定義在Y 內，也就是說對於Y 中的每一y 和z ，令由$y\cdot z=yz$給定的乘積

$\cdot :Y\times Y\longrightarrow Y$

明確定義。令f 和g 為函數f，g : X → Y ，則對於X 中的每一x，逐點乘積 (f·g) : X → Y由下式定義為

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

上式在二元運算符·略去時也同樣乘積，其中f·g = fg。

例子

最常見的例子是當上域是乘法明確定義了的環或體時，兩個函數的逐點乘積。

• 若Y 是實數集R，則f，g : X → R的逐點乘積是映射的普通乘法。例如，有函數f(x) = 2x 和g(x) = x + 1，則對於R中的每一實數x ，

$(fg)(x)=f(x)g(x)=2x(x+1)=2x^{2}+2x\,$

• 卷積定理敘述了卷積的傅里葉變換是傅里葉變換的逐點乘積：

${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$

逐點乘積的代數應用

令X 為集合，R 為環。因為加法和乘法都在R 中有定義，我們可以通過定義函數的逐點加法、乘法和標量乘法，從X 到R 的函數中構造一個代數結構，這樣的代數稱為k-代數（體上的代數）。

若R^X標示X 到R 的函數集，那麼就稱若f、g 是R^X的元素，則f + g、fg 和rf 都是R^X 的元素，其中rf 定義為對R 中的所有r 都有

$(rf)(x)=rf(x)\,$

推廣

若f 和g 都的定義域中包含一組離散變量的所有可能賦值，則它們的逐點乘積是由一個函數，這一函數的定義域是由兩個函數定義域的併集中的所有可能賦值組成。每一賦值的取值由由兩個給定函數值的乘積計算，而二者的賦值子集都在定義域中。

例如，給定布爾變量p 和q 的函數f₁()與布爾變量q 和r 的函數f₂()，且二者值域都包含於R，則f₁() 與f₂() 的逐點乘積如下表所示：

p	q	r	f1(p, q)	f2(q, r)	逐點乘積
T	T	T	0.1	0.2	0.1 x 0.2
T	T	F	0.1	0.4	0.1 x 0.4
T	F	T	0.3	0.6	0.3 x 0.6
T	F	F	0.3	0.8	0.3 x 0.8
F	T	T	0.5	0.2	0.5 x 0.2
F	T	F	0.5	0.4	0.5 x 0.4
F	F	T	0.7	0.6	0.7 x 0.6
F	F	F	0.7	0.8	0.7 x 0.8