高斯映射
在微分幾何裡,高斯映射是從歐氏空間R3中的一個曲面到單位球面S2的一個映射。高斯映射是以卡爾·弗里德里希·高斯命名。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Gauss_map.svg/400px-Gauss_map.svg.png)
給出R3中的曲面X,高斯映射是一個連續映射N: X → S2,使得N(p)是在點p上正交於X的單位向量,就是曲面X在點p處的法向量。
高斯映射可以在曲面的整體上定義,當且僅當曲面是可定向的,此時其映射度等於歐拉示性數的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上(即曲面的一小塊上)定義。高斯映射的雅可比行列式等於高斯曲率,而高斯映射的微分稱為形狀算子。
高斯以此為題在1825年寫了一份初稿,並在1827年發表。
全曲率
編輯高斯映射的像的面積稱為全曲率,等於高斯曲率的曲面積分。這是起初高斯所給出的詮釋。高斯-博內定理將曲面的全曲率和曲面的拓撲性質聯繫起來:
推廣
編輯高斯映射可以定義在Rn中的超曲面上,從超曲面映射到Rn中的單位球面Sn-1。
參考
編輯- Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827)
- Gauss, K. F., General investigations of curved surfaces, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).