全序關係
全序關係,也稱為線性順序(英語:Total order, linear order)即集合上的反對稱的、遞移的和完全的二元關係(一般稱其為)。
若滿足全序關係,則下列陳述對於中的所有和成立:
- 反對稱性:若且則
- 遞移性:若且則
- 完全性:或
滿足全序關係的集合叫做全序集合、線性序集合、簡單序集合或鏈。 鏈還常用來描述偏序集合的全序子集。
全序關係的完全性可以如下這樣描述:集合中的任何一對元素都是可相互比較的。
注意完全性條件蘊涵了自反性:,因此全序關係也是(滿足「完全性」條件的)偏序關係。
嚴格全序
編輯對於每一(非嚴格)全序關係≤都有一關聯的非對稱的嚴格全序關係<,它可以用以下兩種等價的方式定義:
- 當且僅當 且
- 當且僅當 (即 為 的逆補關係)
性質:
我們可以通過指定 為三分二元關係,用這兩種等階的方式來定義全序 :
- 當且僅當 或
- 當且僅當
另兩個關聯的關係是補關係 和 ,它們構成了四元組 。
我們可以用這四個關係中的任何一個來定義全序集,符號指明了全序集的嚴格性。
例子
編輯參見
編輯引用
編輯- George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
- John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4