全序关系
全序关系,也称为线性顺序(英语:Total order, linear order)即集合上的反对称的、传递的和完全的二元关系(一般称其为)。
若满足全序关系,则下列陈述对于中的所有和成立:
- 反对称性:若且则
- 传递性:若且则
- 完全性:或
满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。
全序关系的完全性可以如下这样描述:集合中的任何一对元素都是可相互比较的。
注意完全性条件蕴涵了自反性:,因此全序关系也是(满足“完全性”条件的)偏序关系。
严格全序
编辑对于每一(非严格)全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<,它可以用以下两种等价的方式定义:
- 当且仅当 且
- 当且仅当 (即 为 的逆补关系)
性质:
我们可以通过指定 为三分二元关系,用这两种等阶的方式来定义全序 :
- 当且仅当 或
- 当且仅当
另两个关联的关系是补关系 和 ,它们构成了四元组 。
我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集,符号指明了全序集的严格性。
例子
编辑参见
编辑引用
编辑- George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
- John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4