環索線

環索線（strophoid）是幾何學中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P₁和P₂是直線L上的兩點，這兩點和K的距離和A到K的距離相同（因此A、P₁、P₂在圓心為O為圓上）。P₁、P₂的軌跡即為曲線C的環索線，相對於極點O及固定點A。其中AP₁和AP₂會呈直角。

若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。

方程式

極坐標

令曲線C的極坐標方程為 $r=f(\theta )$ ，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若 $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ 是曲線上的一點，K到A的距離為

d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

.

在OK線上的點，其極座標角度為 $\theta$ ，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為 $f(\theta )\pm d$ 。因此，環索線的方程如下

r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

另一種極座標公式

若C是極點為O和A的麥克勞林分角線（英語：sectrix of Maclaurin）時，可以用以下的極座標公式。

令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為 $\theta$ ，而 $\vartheta$ 是線AK和和X軸的夾角。假設 $\vartheta$ 可以表示為 $\theta$ 的函數，假設 $\vartheta =l(\theta )$ 。令 $\psi$ 是K的角度，則 $\psi =\vartheta -\theta$ 。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為

{r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}

。

令P₁和P₂是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使 $\psi =\angle P_{1}KA$ ，且 $\pi -\psi =\angle AKP_{2}$ 。 $\triangle P_{1}KA$ 是頂角為 $\psi$ 的等腰三角形，剩下的兩角 $\angle AP_{1}K$ 和 $\angle KAP_{1}$ 角度為 $(\pi -\psi )/2$ 。AP₁線和x軸角度為

l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2

。

同理可得AP₂和x軸的角度為

l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2

.

環索線的極座標式可以表示以下有l₁及l₂的式子：

r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}

r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}

若l是 $q\theta +\theta _{0}$ ，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l₁和l₂會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

特例

斜環索線

令C是通過A點的直線。依照上式的表示法， $l(\theta )=\alpha$ ，其中 $\alpha$ 為常數，則 $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ 且 $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$ 。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為

r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}

以及

r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}

.

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點，用−a代替a，可得

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

,

旋轉角度 $\alpha$ 後可得

r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}

.

在直角坐標系，調整常數的參數，可得

y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy

.

是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。

正環索線

將 $\alpha =\pi /2$ 代入下式

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

可得

r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )

.

此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。

笛卡爾坐標系方程為

y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)

.

此曲線為笛卡兒葉形線^[1]，直線x = −a是二個分支的漸近線。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的

x\pm iy=-a

。

圓

令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法， $l(\theta )=\alpha +\theta$ ，其中 $\alpha$ 是常數。則 $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ 以及 $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$ ，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為