擊中時 也稱為命中時 、首中時 ，是數學 中隨機過程 研究裏出現的一個概念，表示一個隨機過程首次接觸到狀態空間 的某個子集 的時間。在特定的例子中，也會被稱為離時 （脫離時間 ）或回時 （首次迴歸時間 ）。
布朗運動過程的三個路徑，接觸到上限則結束
設
T
{\displaystyle T}
指標集 ，比如說是自然數 的集合
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
實數 集
R
+
=
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,+\infty )}
T
{\displaystyle T}
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
時間 的方式（離散或連續型）。給定一個概率空間
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
S
{\displaystyle S}
X
:
Ω
×
T
→
S
=
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle X:\,\,\Omega \times T\rightarrow S=\left(X_{t}\right)_{t\in T}}
A
{\displaystyle A}
S
{\displaystyle S}
可測 子集。那麼，隨機過程
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
A
{\displaystyle A}
隨機變量 [1] :155 ：
τ
A
Ω
⟶
T
¯
{\displaystyle \tau _{A}\Omega \longrightarrow {\overline {T}}}
τ
A
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∈
A
}
.
{\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A\}.}
同樣，可以定義
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
A
{\displaystyle A}
ϵ
A
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∉
A
}
=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
∈
A
c
}
=
τ
A
c
.
{\displaystyle \epsilon _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\notin A\}=\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A^{c}\}=\tau _{A^{c}}.}
可以看出離時實際上也是擊中時的一種，表示首次接觸到要研究的子集的補集 的時間。很多時候，離時也會記為
τ
A
{\displaystyle \tau _{A}}
另外一種擊中時是
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}
{
X
0
(
ω
)
}
{\displaystyle \{X_{0}(\omega )\}}
τ
0
(
ω
)
:=
inf
{
t
∈
T
|
X
t
(
ω
)
=
X
0
(
ω
)
}
.
{\displaystyle \tau _{0}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )\}.}
設
(
W
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
布朗運動過程 ，則對於任意（實數的）波萊爾 可測子集
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
τ
A
W
{\displaystyle \tau _{A}^{W}}
τ
A
W
{\displaystyle \tau _{A}^{W}}
如果定義標準布朗運動
(
W
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}
A
r
=
(
−
r
,
r
)
{\displaystyle A_{r}=(-r,r)}
ϵ
r
W
=
τ
A
r
c
W
{\displaystyle \epsilon _{r}^{W}=\tau _{A_{r}^{c}}^{W}}
數學期望值 是：
E
(
ϵ
r
W
)
=
r
2
{\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{r}^{W})=r^{2}}
方差 是
Var
(
ϵ
r
W
)
=
2
3
r
4
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{r}^{W})={\frac {2}{3}}r^{4}.}
首發定理
編輯
對於給定的概率空間，隨機過程首次進入狀態空間中的一個可測子集
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
début ）。首發定理說明，如果隨機過程是循序可測 的，那麼可測子集的首發時間一定是停時。循序可測過程包括所有的左連續適應過程 和右連續適應過程。首發定理的證明用到了解析集 的性質。首發定理需要概率空間是完全概率空間 。
首發定理的逆定理指出，所有定義在某個實數時間軸的濾波 上的停時，都能表示為某個狀態空間子集的擊中時。特別地，存在一個適應的不增隨機過程，其路徑幾乎總是左極限右連續，並且取值為0或1，使得子集
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
參考來源
編輯
^ （英文） Rick Durrett. Probability: theory and examples ,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390
