排序演算法

在電腦科學與數學中，一個排序演算法（英語：Sorting algorithm）是一種能將一串資料依照特定排序方式排列的演算法。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序演算法在一些演算法（例如搜尋演算法與合併演算法）中是重要的，如此這些演算法才能得到正確解答。排序演算法也用在處理文字資料以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序演算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

1. 輸出結果為遞增序列（遞增是針對所需的排序順序而言）
2. 輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序演算法是一個簡單的問題，但是從電腦科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，泡沫排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認為這是一個已經被解決的問題，有用的新演算法仍在不斷的被發明。（例子：圖書館排序在2004年被發表）

分類

在電腦科學所使用的排序演算法通常依以下標準分類：

• 計算的時間複雜度（最差、平均、和最好表現），依據串列（list）的大小($n$)。一般而言，好的表現是$O(n\log n)$（大O符號），壞的表現是$O(n^{2})$。對於一個排序理想的表現是$O(n)$，但平均而言不可能達到。基於比較的排序演算法對大多數輸入而言至少需要$O(n\log n)$。
• 記憶體使用量（以及其他電腦資源的使用）
• 穩定性：穩定排序演算法會讓原本有相等鍵值的紀錄維持相對次序。也就是如果一個排序演算法是穩定的，當有兩個相等鍵值的紀錄$R$和$S$，且在原本的串列中$R$出現在$S$之前，在排序過的串列中$R$也將會是在$S$之前。
• 排序的方法：插入、交換、選擇、合併等等。

穩定性

穩定排序紙牌的例子。當紙牌用穩定排序按點值排序的時候，兩個5之間必定保持它們最初的次序。在用不穩定排序來排序的時候，兩個5可能被按相反次序來排序。

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定性並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

$(4,1)(3,1)(3,7)(5,6)$

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是讓相等鍵值的紀錄維持相對的次序，而另外一個則沒有：

$(3,1)(3,7)(4,1)(5,6)$ （維持次序）
$(3,7)(3,1)(4,1)(5,6)$ （次序被改變）

不穩定排序演算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序演算法從來不會如此。不穩定排序演算法可以被特別地實作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，（比如上面的比較中加入第二個標準：第二個鍵值的大小）就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排序演算法列表

在這個表格中，$n$是要被排序的紀錄數量以及$k$是不同鍵值的數量。

穩定的排序

• 泡沫排序（bubble sort）— $O(n^{2})$
• 插入排序（insertion sort）—$O(n^{2})$
• 雞尾酒排序（cocktail sort）—$O(n^{2})$
• 桶排序（bucket sort）—$O(n)$；需要$O(k)$額外空間
• 計數排序（counting sort）—$O(n+k)$；需要$O(n+k)$額外空間
• 合併排序（merge sort）—$O(n\log n)$；需要$O(n)$額外空間
• 原地合併排序— $O(n\log ^{2}n)$如果使用最佳的現在版本
• 二元排序樹排序（binary tree sort）— $O(n\log n)$期望時間；$O(n^{2})$最壞時間；需要$O(n)$額外空間
• 鴿巢排序（pigeonhole sort）—$O(n+k)$；需要$O(k)$額外空間
• 基數排序（radix sort）—$O(nk)$；需要$O(n)$額外空間
• 侏儒排序（gnome sort）— $O(n^{2})$
• 圖書館排序（library sort）— $O(n\log n)$期望時間；$O(n^{2})$最壞時間；需要$(1+\varepsilon )n$額外空間
• 塊排序（block sort）— $O(n\log n)$
• Tim排序（Timsort）—$O(n\log n)$平均、最壞時間；$O(n)$最佳時間；需要$O(n)$額外空間；是目前已知最快的排序演算法，在Python、Swift、Rust等語言的內建排序功能中被用作預設演算法

不穩定的排序

• 選擇排序（selection sort）—$O(n^{2})$
• 希爾排序（shell sort）—$O(n\log ^{2}n)$如果使用最佳的現在版本
• 克洛弗排序（Clover sort）—$O(n)$期望時間，$O(n^{2})$最壞情況
• 梳排序— $O(n\log n)$
• 堆積排序（heap sort）—$O(n\log n)$
• 平滑排序（smooth sort）— $O(n\log n)$
• 快速排序（quick sort）—$O(n\log n)$期望時間，$O(n^{2})$最壞情況
• 內省排序（introsort）—$O(n\log n)$
• 耐心排序（patience sort）—$O(n\log n+k)$最壞情況時間，需要額外的$O(n+k)$空間，也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence）

不實用的排序

• Bogo排序— $O(n\times n!)$，最壞的情況下期望時間為無窮。
• Stupid排序—$O(n^{3})$;遞歸版本需要$O(n^{2})$額外記憶體
• 珠排序（bead sort）— $O(n)$ 或 $O({\sqrt {n}})$,但需要特別的硬件
• 煎餅排序—$O(n)$,但需要特別的硬件
• 臭皮匠排序（stooge sort）演算法簡單，但需要約$n^{2.7}$的時間

簡要比較

名稱	數據對象	穩定性	時間複雜度		額外空間複雜度	描述
			平均	最壞
泡沫排序	陣列		$O(n^{2})$		$O(1)$	（無序區，有序區）。 從無序區透過交換找出最大元素放到有序區前端。
選擇排序	陣列		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序區，無序區）。 在無序區里找一個最小的元素跟在有序區的後面。對陣列：比較得多，換得少。
	鏈結串列
插入排序	陣列、鏈結串列		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序區，無序區）。 把無序區的第一個元素插入到有序區的合適的位置。對陣列：比較得少，換得多。
堆積排序	陣列		$O(n\log n)$		$O(1)$	（最大堆，有序區）。 從堆頂把根卸出來放在有序區之前，再恢復堆。
合併排序	陣列		$O(n\log ^{2}n)$		$O(1)$	把數據分為兩段，從兩段中逐個選最小的元素移入新數據段的末尾。 可從上到下或從下到上進行。
			$O(n\log n)$		$O(n)+O(\log n)$ 如果不是從下到上
	鏈結串列				$O(1)$
快速排序	陣列		$O(n\log n)$	$O(n^{2})$	$O(\log n)$	（小數，基準元素，大數）。 在區間中隨機挑選一個元素作基準，將小於基準的元素放在基準之前，大於基準的元素放在基準之後，再分別對小數區與大數區進行排序。
	鏈結串列
希爾排序	陣列		$O(n\log ^{2}n)$	$O(n^{2})$	$O(1)$	每一輪按照事先決定的間隔進行插入排序，間隔會依次縮小，最後一次一定要是1。
計數排序	陣列、鏈結串列		$O(n+m)$		$O(n+m)$	統計小於等於該元素值的元素的個數i，於是該元素就放在目標陣列的索引i位（i≥0）。
桶排序	陣列、鏈結串列		$O(n)$	$O(n^{2})$	$O(m)$	將值為i的元素放入i號桶，最後依次把桶里的元素倒出來。
基數排序	陣列、鏈結串列		$O(k\times n)$	$O(n^{2})$		一種多關鍵字的排序演算法，可用桶排序實現。

• 均按從小到大排列
• k代表數值中的"數碼"個數
• n代表數據規模
• m代表數據的最大值減最小值

外部連結

• 不同排序演算法間的比較（英語） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 一些排序演算法的C及Pascal實現
• 視覺化排序 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）