泊松極限定理

在概率論中，泊松極限定理是指，在一定條件下，泊松分佈可以用於近似二項分佈，可以用來解釋為什麼泊松分佈適合描述單位時間內隨機事件發生的次數。這個定理是以法國數學家西梅翁·德尼·泊松的名字命名。該定理的一個推廣形式是Le Cam定理。

定理陳述

設 $p_{n}$是一個$[0,1]$中的實數列，如果$np_{n}$收斂到一個有限極限$\lambda$ ，那麼

$\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$

證明

${\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&\simeq \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\end{aligned}}$ .

考慮到

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=e^{-\lambda }$

以及

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1$

這就推出所需結論

${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.$

另一個證明

由斯特林公式，

${\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(n-k\right)}}\left({\frac {n-k}{e}}\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{n-k}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}$

令$n\to \infty$以及$np=\lambda$ :

${\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{n-k}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{n^{n-k}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}$

因為當$n\to \infty$, $\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}$，所以：

${\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}$

生成函數

我們也可以通過使用二項分佈的生成函數來證明這個定理：

$G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{N-k}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}$

由二項式定理。令$N\rightarrow \infty$的同時使$pN\equiv \lambda$為常數，可以發現

$\lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}$

這是泊松分佈的生成函數 （第二個等式成立是由於指數函數的定義)。