蚌線

提示：此條目頁的主題不是合蚌線。

在平面幾何中，蚌線是一類曲線，可以由一條給定的曲線、一個定點和一個給定的長度來確定。更具體地說，過定點 $O$ 的動直線與給定曲線 $c$ 相交，動直線上滿足「與交點距離為定長 $k$ 」的點的軌跡定出的新曲線，就是原曲線 $c$ 關於極點 $O$ 和跡距 $k$ 的蚌線。

綠色為直線，黑色為直線外一點，所有紅色線段和藍色線段的長度均相等。紫色和橙色曲線是綠色直線關於黑色點的蚌線，紫色為內支，橙色為外支

極點和原直線不變、跡距不同的一系列蚌線

用解析幾何的方式來表述：平面曲線 $c$ 的極坐標方程為 $\rho =f(\theta )$ ，則以 $\rho =f(\theta )\pm k$ 為方程的曲線是 $c$ 關於原點的蚌線。

「蚌線」也常特指原曲線為直線的蚌線，即尼科美迪斯蚌線。尼科美迪斯是古希臘數學家，他利用這種蚌線來解決古希臘數學三大難題中的兩個——三等分角和倍立方體。

尼科美迪斯蚌線

灰色為直線，黑色為蚌線的極點

  跡距小於極點與直線的距離，極點與內支分離

  跡距等於極點與直線的距離，極點是內支的尖點

  跡距大於極點與直線的距離，極點是內支的結點

性質

有定直線 $l$ 和直線外一固定點 $O$，過點 $O$ 的動直線與 $l$ 相交，動直線上滿足「與交點距離為定長」的點的軌跡，就是直線 $l$ 關於極點 $O$ 的蚌線 $c$ ，即尼科美迪斯蚌線。一條尼科美迪斯蚌線有內外兩支，兩支的漸近線都為 $l$ 。

通常記 $l$ 與點 $O$ 的距離為 $a$ ，跡距為 $b$。根據 $a$ 和 $b$ 的關係，內支有三種不同形態：

• 當 $b<a$ 時，蚌線內支沒有尖點或結點，極點與內支不相交。
• 當 $a=b$ 時，蚌線內支有一個尖點，尖點與極點重合。
• 當 $b>a$ 時，蚌線內支有一個結點，結點與極點重合。

尼科美迪斯蚌線是軸對稱圖形，對稱軸與 $l$ 垂直並通過極點 $O$。

歷史和應用

尼科米迪斯發明的工具，用來繪製直線蚌線的外支

古希臘數學家尼科美迪斯是最早研究蚌線的人。他發明了繪製直線之蚌線的工具，這是人們第一次用儀器繪製出直線和圓之外的幾何曲線。他關於蚌線的論著已經失傳，只有一部分通過帕普斯的《數學匯編》得以保存下來。帕普斯指出，存在「四種」蚌線，但只記錄了「第一種」蚌線，也就是直線蚌線的外支，用來解決尺規作圖三大難題中的兩個：三等分角和倍立方體。剩下的「三種」蚌線，很可能指的是直線蚌線內支的三種形態。

帕普斯將該曲線稱為「螺線」（κοχλοειδὴς γραμμή），這很可能是尼科美迪斯最初的叫法。後來的普羅克洛等人才改稱該曲線為「蚌線」（κογχοειδὴς γραμμή）。

17世紀的大數學家艾薩克·牛頓認為蚌線是僅次於直線和圓的、定義第三簡潔的曲線，並利用蚌線構造出多種三次平面曲線。但及至當代，蚌線變得很少被數學家研究和關注。

倍立方體

藉助蚌線作出長度為${\sqrt[{3}]{2}}$的線段

作線段 $AB=1$ 。以點 $A$ 為圓心、$AB$ 為半徑作圓，以點 $B$ 為圓心、$AB$ 為半徑作圓，交於點 $C$ 。

過點 $A$ 作線段 $AC$ 的垂線 $l$。以點 $C$ 為極點、$AB$ 為跡距作直線 $l$ 的蚌線外支。

延長 $BA$ 交蚌線於點 $D$ 。延長 $AB$ 交圓 $B$ 於點 $E$ 。連接 $CD$ 交 $l$ 於點 $F$ 。線段 $CF$ 的長度即為 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 。

代數證明
設 $CF=x$ 。顯然 $x$ 是正實數。 因為 $\triangle AFC$ 為直角三角形，所以 $AF={\sqrt {CF^{2}-CA^{2}}}={\sqrt {x^{2}-1}}$ 。 又因為 $\triangle ADF\sim \triangle EDC$ ，所以 $AF={EC \over CD}\cdot FD={{\sqrt {3}} \over x+1}$ 。 ${\sqrt {x^{2}-1}}={{\sqrt {3}} \over x+1}$ $(x^{2}-1)(x+1)^{2}=3$ $x^{4}+2x^{3}-2x-4=0$ $(x+2)(x^{3}-2)=0$ $x^{3}-2=0$ $x={\sqrt[{3}]{2}}$

尼科美迪斯的幾何證明
作長方形 $ABGH$ ，$AH=BG=2AB=2GH$ 。 延長 $DH$ ，延長 $BG$ ，交於點 $K$ 。 連接 $EH$ ，交 $BG$ 於點 $L$ ，點 $L$ 是 $BG$ 中點。 取 $AB$ 中點 $M$，連接 $MC$ 。
$AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)$ $AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}$ $AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}$ $AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}$
$\triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD$ $KG:GH=HA:AD$ $\because GH=GL,\ AH=2AB=AE$ $\therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD$ $\because FD=AB=GL$ $\therefore KG=FC$ $KL=KG+GL=FC+FD=CD$ $KL^{2}=CD^{2}$
$KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}$ $KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}$ $CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}$ $\therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}$ $KB\cdot KG=AD\cdot BD$ $AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD$
$HA:AD=AD:KG=KG:GH$ $HA=2GH$ $\therefore KG={\sqrt[{3}]{2}}GH$

三等分角

藉助蚌線三等分任意銳角

作任意直角三角形 $\triangle OAB$ ，點 $A$ 為垂足。以點 $O$ 為極點、$2\ OB$ 為跡距作直線 $AB$ 的蚌線外支。

過點 $B$ 作直線 $AB$ 的垂線，交蚌線於點 $C$。 $OC$ 就是 $\angle AOB$ 的三等分線。

證明
作 $OC$ 與 $AB$ 的交點 $D$ 。取 $CD$ 的中點 $E$ ，連接 $BE$ 。 根據蚌線和直角三角形的性質，可知 $OB=CE=DE=BE$ 。 易證得 $\angle BOD=\angle BED=\angle EBC+\angle C=2\angle C=2\angle AOD$ 。 故 $\angle AOD={1 \over 3}\angle AOB$ 。

解析幾何

在極坐標系中，設點 $O$ 為坐標原點，則直線 $l$ 和蚌線 $c$ 的方程可以表示為：

$l:\ \rho =a{\sec \theta }$

$c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b$

$(-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})$

在直角坐標系中，設點 $O$ 為坐標原點，則直線 $l$ 和蚌線 $c$ 的方程可以表示為：

$l:\ x=a$

$c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}$

$(a,b\in \mathbb {R} ^{+})$

或用參數方程表示為：

${\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}$

（上下正負號同號，$-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}$）

尼科美迪斯蚌線是四次平面曲線。

帕斯卡蝸線

主條目：帕斯卡蝸線

帕斯卡蝸線是一類外旋輪線，同時也是一類特殊的蚌線，是圓關於圓上一個定點的蚌線。由於極點在原曲線上，所以蚌線的內支和外支光滑相連為一條曲線。當跡距等於圓的直徑時，就是心臟線。

作圓 $O$ 關於圓上一個定點 $A$ 、跡距等於圓的半徑的蚌線。對於圓上任意一點 $B$，延長 $BO$ 至圓外，與所作蚌線交於點 $C$。根據蚌線的性質，易知 $\angle ACB={1 \over 3}\angle AOB$ 。這條特殊的蚌線被稱為三等分角蝸線。

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  圓關於圓上一點、跡距小於圓徑的蚌線
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  圓關於圓上一點、跡距等於圓徑的蚌線，即心臟線
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  三等分角蝸線

其他蚌線

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  圓對圓外一點的蚌線，跡距大於極點與圓的最大距離。極點與蚌線內支分離
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  圓對圓外一點的蚌線，跡距等於極點與圓的最大距離。極點為蚌線內支的尖點
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  圓對圓外一點的蚌線，跡距小於極點與圓的最大距離，大於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的結點
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  圓對圓外一點的蚌線，跡距等於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的尖點
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  圓對圓外一點的蚌線，跡距小於極點與圓的最小距離。極點與蚌線內支分離

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  圓對圓內一點的一條蚌線
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  拋物線對線外一點的一條蚌線
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  正弦曲線對線外一點的一條蚌線
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  立方曲線對線外一點的一條蚌線
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  雙曲線一支對線上一點的蚌線
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  橢圓對於中心、跡距等於半短軸的蚌線，內支有兩個重合的尖點