超度量空間是一種特殊的度量空間,其中三角不等式d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}來代替。有時相關的度量也稱為非阿基米德度量超度量。雖然超度量空間中的一些定理看來奇怪,它們在許多應用中都自然出現。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。

正式定義

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正式地,超度量空間是點M集合與一個相關的距離函數(又稱為度量):

d : M × MR

(其中R實數集合),使得對於所有M內的xyz,都有:

  1. d(x, y) ≥ 0
  2. d(x, y) = 0  若且唯若  x=y
  3. d(x, y) = d(y, x)  (對稱性
  4. d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}  (強三角不等式超度量不等式)。

第四個條件可加強為當d(x, y)和d(y, z)不相等時,d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)},原因如下:

首先,可以不失一般性地假定d(x, y) < d(y, z),因此d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}可變為d(x, z) ≤ d(y, z),但另一方面,d(y, z) ≤ max{d(x, y), d(x, z)},由於已經假定d(x, y) < d(y, z)之故,因此顯然max{d(x, y), d(x, z)}不能為d(x, y),因此max{d(x, y), d(x, z)} = d(x, z),所以有d(y, z) ≤ d(x, z),由於d(x, z) ≤ d(y, z)和d(y, z) ≤ d(x, z)兩者皆成立之故,因此有d(x, z) = d(y, z)。因此d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}。

性質

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在超度量空間中,甚至一些等腰三角形也不允許。

從以上的定義中,我們可以推出超度量空間的一些典型的性質。例如,在超度量空間內,對於所有M內的xyz以及R內的所有rs,都有:

  • 每一個三角形都是等腰的,也就是說,d(x,y) = d(y,z),或d(x,z) = d(y,z),或d(x,y) = d(z,x)。
  • 球體內的每一點都是它的中心,也就是說,如果d(x,y) < r,則B(x; r) = B(y; r)。
  • 相交的球體互相包含,也就是說,如果B(x; r) ∩ B(y; s)是非空的,則要麼B(x; r) ⊆ B(y; s),要麼B(y; s) ⊆ B(x; r)。

在這裏,(開)球體的概念和記法與度量空間中的球體一樣,也就是說:

B(x; r) = { y ∈ M | d(x, y) < r }。
  • 所有的球體在誘導拓撲中都既是開集又是閉集。也就是說,開球體也是閉球體,閉球體(把<換成≤)也是開球體。

參考文獻

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  • Set Theory and Metric Spaces, I. Kaplansky, AMS Chelsea Publishing (1977). ISBN 0-8218-2694-8