微分叠

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。

微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。

定义

定义1（由广群纤维化）

回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴${\mathcal {C}}$、到微分流形范畴的函子$\pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd}$，并满足

1. ${\mathcal {C}}$是纤维范畴，即对任意对象$u\in {\mathcal {C}}$和任意箭头$V\to U\ \in \mathrm {Mfd}$，都有箭头$v\to u$，在$V\to U$上；
2. 对$\mathrm {Mfd}$中的任意交换三角$W\to V\to U$及$W\to U$上的任意箭头$w\to u$、$V\to U$上的$v\to u$，在$W\to V$上存在唯一的箭，使三角$w\to v\to u$交换。

这些性质确保$\forall U\in \mathrm {Mfd}$，都可以定义其纤维$\pi ^{-1}(U)$或${\mathcal {C}}_{U}$，作为${\mathcal {C}}$的子范畴，由${\mathcal {C}}$在U上的所有对象和在$id_{U}$上的所有态射组成。根据这构造，$\pi ^{-1}(U)$是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。

任何流形X都定义了其切片范畴 $F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)$，对象是流形U与光滑映射$f:U\to X$组成的对子$(U,f)$；则$F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U$是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$若满足以下条件，则称作可表浸没：

• 对流形U和任意态射$F_{U}\to {\mathcal {D}}$，纤维积${\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}$可表，即（对某个流形Y，）与作为广群纤维的$F_{V}$同构；
• 诱导光滑映射$V\to U$是浸没。

对流形X，微分叠是叠$\pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd}$与特殊的可表浸没$F_{X}\to {\mathcal {C}}$（上述每个浸没$V\to U$都需要是满射）。映射$F_{X}\to {\mathcal {C}}$称作叠X的图集、呈现或覆叠。

定义2（由2-函子）

回想范畴${\mathcal {C}}$上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 $X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，其中$\mathrm {Grp}$是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象$M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$定义了叠${\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)$，与另一对象$N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$关联，形成态射$N\to M$的广群$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)$。现有叠$X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，若有对象$M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$与叠的态射${\underline {M}}\to X$（常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的：

• 态射${\underline {M}}\to X$可表，即$\forall Y\in {\mathcal {C}}$和任何态射$Y\to X$，纤维积${\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}$同构于作为叠的${\underline {Z}}$（对某对象Z）；
• 诱导态射$Z\to Y$满足取决于范畴${\mathcal {C}}$的范畴（如对流形，是要满足浸没。

微分叠是${\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd}$（微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子$X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，其也满足几何性，即承认上面定义的图集${\underline {M}}\to X$。

注意，将$\mathrm {Mfd}$换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把$\mathrm {Mfd}$换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。

定义3（由森田等价）

回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没$s,t:G\to M$、偏乘法映射$m:G\times _{M}G\to G$、单位映射$u:M\to G$、逆映射$i:G\to G$，满足类似群的相容性。

两个李群胚$G\rightrightarrows M$、$H\rightrightarrows N$间若有主双丛P，即有主右H丛$P\to M$、主左G丛$P\to N$，使得对P的两作用交换，则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。

微分叠记作$[M/G]$，是某李群胚$G\rightrightarrows M$的森田等价类。

定义1、2的等价性

任何纤维范畴${\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf}$都定义了2-层$X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)$。反过来，任何预叠$X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$给出了范畴${\mathcal {C}}$，其对象是流形U与对象$x\in X(U)$的对子$(U,x)$，态射是映射$\phi :(U,x)\to (V,y)$，使$X(\phi )(y)=x$。这样的${\mathcal {C}}$配备函子${\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U$后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。

定义2、3的等价性

李群胚$G\rightrightarrows M$给出了微分叠$BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$，将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴（即G-主丛）。$G\rightrightarrows M$的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来，任何微分叠$X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$都是$BG$形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若${\underline {M}}\to X$是叠X的图集，则可定义李群胚$G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M$，并检查$BG_{X}$是否同构于X。

Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。

示例

• 任何流形M定义了微分叠${\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)$，由恒等映射${\underline {M}}\to {\underline {M}}$平凡地表示。叠${\underline {M}}$对应单位广群$u(M)\rightrightarrows M$的森田等价类。
• 李群G定义了微分叠$BG$，将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴，由平凡叠态射${\underline {pt}}\to BG$表示，将一点发送到G的分类空间上的通用G-丛。叠$BG$对应$G\rightrightarrows \{*\}$的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群G的传递李群胚的森田等价类）。
• 流形M上的叶状结构${\mathcal {F}}$由其叶空间定义了微分叠，对应完整广群$\mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M$的森田等价类。
• 轨形都是微分叠，因为其是具有离散迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是紧的，所以有限）的森田等价类。

商微分叠

给定M上的李群作用$a:M\times G\to M$，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴$P\to X$和G-等价映射$\phi :P\to M$相联系的叠$[M/G]$，是由叠态射${\underline {M}}\to [M/G]$表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下：

$${\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})$$

其中$\phi _{f}:X\times G\to M$是G-等价映射$\phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g$。

叠$[M/G]$对应作用广群$M\times G\rightrightarrows M$的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形：

• 若M是点，则微分叠$[M/G]$与$BG$重合
• 若作用是半正则紧合作用（于是商$M/G$是流形），则微分叠$[M/G]$与${\underline {M/G}}$重合
• 若作用是紧合作用（于是商$M/G$是轨形），则微分叠$[M/G]$与轨形定义的叠重合

微分空间

微分空间（differentiable space）是具有平凡稳定子的微分叠。例如，若李群半正则作用（不必紧合）于流形，则对其的商一般不是流形，而是微分空间。

配备格罗滕迪克拓扑

微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑，这给出了X上的层概念。例如，X上微分p形式的层$\Omega _{X}^{p}$可由流形U上$\forall x\in X$给出，使$\Omega _{X}^{p}(x)$为U上p形式的空间。层$\Omega _{X}^{0}$称作X上的结构层，表示为${\mathcal {O}}_{X}$。$\Omega _{X}^{*}$带有外微分，因此是X上向量空间的复层：于是有了X的德拉姆上同调的概念。

束

现有微分叠间的满态射$G\to X$，若$G\to G\times _{X}G$也是满态射，则前者称作X上的束。例如，若X是叠，则$BS^{1}\times X\to X$是束。Giraud提出的一条定理称，$H^{2}(X,S^{1})$一一对应于局部同构于$BS^{1}\times X\to X$的X上的束集，束有其带（band）的平凡化。

外部链接

• http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack （页面存档备份，存于互联网档案馆）