量子力学里,概率流,又称为概率通量,是描述概率密度流动的物理量。假若将概率密度想像为非均匀流体。那么,概率流就是这流体的流率(概率密度乘以速度)。

定义

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量子力学里,从概率守恒可以得到“概率连续性方程”。设定一个量子系统的波函数为   。定义概率流  

 

其中, 约化普朗克常数  是质量,  共轭复数  是取括弧内项目的虚部。

连续方程与概率保守定律

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概率流满足量子力学的连续方程

 

其中,  是概率密度。

应用高斯公式,等价地以积分方程表示,

 (1)

其中,  是任意三维区域,   的边界曲面。

这就是量子力学概率守恒定律的方程。

方程 (1) 左边第一个体积积分项目(不包括对于时间的偏微分),即是测量粒子位置时,粒子在   内的概率。第二个曲面积分是概率流出   的通量。总之,方程 (1) 表明,粒子在三维区域   内的概率对于时间的微分,加上概率流出三维区域   的通量,两者的总和等于零。

连续方程导引

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测量粒子在三维区域   内的概率  

 

概率对于时间的导数是

 (2)

假设  含时薛定谔方程

 

其中, 位势

将含时薛定谔方程代入方程 (2) ,可以得到

 

应用一则矢量恒等式,可以得到

 

这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销,将抵销后的方程代入,

 

将概率密度方程与概率流定义式代入,

 

这相等式对于任意三维区域   都成立,所以,被积项目在任何位置都必须等于零:

 

范例

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平面波

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设定一个粒子的波函数   为三维空间的平面波

 

其中, 振幅常数, 波数  是位置, 角频率  是时间。

  的概率流是

 

这只是振幅的平方乘以粒子的速度  

请注意,虽然这平面波是定态,在每一个的地点,  ,但是概率流仍旧不等于   。因此可以推论,虽然概率密度不显性地跟时间有关,粒子仍可能移动于空间中。

盒中粒子

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一维盒子位势,即一个无限深方形阱,阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。

思考一维盒中粒子问题,能级为  本征波函数  

 

其中,  是一维盒子的宽度,两扇盒壁的位置分别在   

由于   ,其概率流为

 

参阅

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