无穷递降法,又名无穷递减法(英语:Proof by infinite descent),是数学中证明方程无解的一种方法。
- 假设方程有解,并设X为最小的解。
- 从X推出一个更小的解Y。
- 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。
证明下列方程无正整数解:
-
证明:
假设该方程有正整数解。
设 为最小的解。即
-
显然, 和 都必须能被3整除。设
- 及
我们得到
-
-
这是更小的解,与 的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。
的无理性
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假设 是有理数,即 有正整数解。
令 是此方程的最小解
易知 是偶数,从得 是偶数
⇒
和 是此方程的最小解矛盾,故无正整数解
⇒从得 是无理数