量子场论中,狄拉克场用于描述自旋-1/2的费米子,如:电子质子夸克等粒子。并且狄拉克场遵守反正则对易关系,数学上可以表示成有四的分量的旋量或一对两个分量的外尔旋量。

虽然都用于描述自旋-1/2的费米子,其与马约拉那场不同。狄拉克场描述的粒子存在反粒子,然而马约拉那场描述的粒子即为自身的反粒子。

基本性质

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自由(没有交互作用)的狄拉克场遵守反正则对易关系,数学上使用到反交换子 而非交换子 。其中的反对易关系就暗示了费米-狄拉克统计,并且也能推导出泡利不相容原理:两个相同的费米子不能处于相同的量子态。

数学公式

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狄拉克场表示成 。其自由场的运动方程式为狄拉克方程式

 

其中 γ矩阵(或称作狄拉克矩阵),m代表质量。这个方程式最简单的解为平面波  。平面波组成了一个 的傅立叶基底。我们能以此基底作展开,如下:

 

  标示了旋量的指标, 表示自旋,s = +1/2或s=−1/2。前面系数中的能量是为了劳伦兹积分的协变性。由于 可以视作一个算符,每个傅立叶基底的系数也必须是算符。因此, 以及 为作用子。这些算符的性质可以从这些场的性质中得知。   遵守反对易关系:

 

借由将  作展开,我们可以得到系数间的反对易关系:

 

于非相对论系统中的创造与湮灭算符相类似,从这个代数关系得到了这样的物理诠释:  产生一个动量 自旋为s的粒子,而 产生一个动量 自旋为r的反粒子。因此,广义的 现在看作产生所有可能动量、自旋之粒子的总合,而其共轭 与其相反,看作湮灭所有动量、自旋之反粒子的总合。

有了对于场及其共轭的了解,我们便能试着架构出劳仑兹协变性的场。最单纯的量为 ,当中 。其他可能的劳仑兹协变性量 

由于这些量的线性组和同样符合劳仑兹协变性,很自然地得到了狄拉克场的拉格朗日密度,并且其欧拉-拉格朗日方程必须回到狄拉克方程式

 

这样的表示将指标隐藏了起来。完整的表示如下:

 

 ,我们可以建构出狄拉克场的费曼传播子

 

我们定义狄拉克场的时间排序如下,当中的负号来自于其反对易关系的性质:

 

对上列的式子作平面波的展开,得到:

 

在此我们用上了费曼斜线标记。这个式子相当合理,因为系数

 

即为狄拉克方程式中作用在 的相反算符。 标量场的费曼传播子也具有相同的性质。由于所有合理的观测量(例如能量、电荷、粒子数等)都由偶数的狄拉克场所构成,两个观测量的对易关系在光锥外为零。就如同我们从量子力学中学习到的,两的可交换的观察量可以同时被观测。因此,我们确定了狄拉克场的劳仑兹协变性,并维持了因果律

而更复杂、包含交互作用的场论(汤川理论(Yukawa theory)或量子电动力学)同样可以微扰或非为扰方法作分析。

在粒子物理标准模型中,狄拉克场扮演很重要的要素。

参阅

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参考资料

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  • Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
  • Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
  • Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory页面存档备份,存于互联网档案馆, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
  • Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.