龐加萊-林德斯泰特方法

龐加萊－林德斯泰特方法（英語：Poincaré–Lindstedt method）是攝動理論中一種當正則攝動法失效時求解常微分方程的近似周期解的方法， 可以在弱非線性振動問題中消除正則攝動法中出現的長期項。

該方法是以數學家昂利·龐加萊與安德斯·林德斯泰特的名字命名的。

示例：杜芬方程

無阻尼、非強迫運動的杜芬方程為

${\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,$

其中t > 0，0 < ε ≪ 1。

假設初值為

$x(0)=1,\,$   ${\dot {x}}(0)=0.\,$

使用攝動法，假設級數解為x(t) = x₀(t) + ε x₁(t) + … 。可以得到，級數的前兩項為

$x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3t)-\cos(t)\right)-{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)\right]+\cdots .\,$

此近似解會隨著時間無限地增大，與該方程所描述的物理系統不符。而導致這一原因的是其中的長期項t sin t 隨時間而不斷增大。為使近似解隨時間變化仍然有效，可以採用如下的龐加萊－林德斯泰特方法。

此方法中，不僅近似解本身表示為漸近展開，時間t也表示為級數形式

$\tau =\omega t,\,$   其中   $\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,$

由於解的角頻率的領頭項為1，取ω₀ = 1。於是，原方程變為

$\omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,$

初值則不變。假設解的形式為 x(τ) = x₀(τ) + ε x₁(τ) + … ，通過ε的零階與一階項可以得到

${\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}$

取ω₁ = ³⁄₈便可消除長期項。按此繼續進行分析，便可得到更高階的精度。以下為精確到ε一階精度的近似解為

$x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,$