延伸原理

延伸原理是非標準分析中的基本原理之一。

延伸原理

1. 實數集是超實數集的一個子集，實數中的序關係x＜y是超實數中序關係的一個子集。
2. 存在一個超實數大於零而小於一切正實數。
3. 對於每一個實函數f，可以給出一個與之對應的、變量數量相等的超實數函數f^*，f^*叫做f的自然延伸。

解釋

第一條：實數是超實數的一部分。

第二條：至少有一個正無窮小（實際上有無窮多個正無窮小）。無窮小（非零）不是實數而是一個超實數。第二條保證了不是實數的超實數的存在。

第三條：允許實函數在超實數中的應用。例如多元函數「+」（加法）可以自然地推廣到超實數變為超實數中的加法「+^*」， 我們便可以定義加法的自然延伸為超實數的和。同理，減法、乘法或除法都可以這樣定義。但為了簡便起見，通常在不引起誤會的情況下略去上標（「^*」）。

其他的函數例如指數函數、對數函數或三角函數都可以通過自然延伸推廣到超實數中。

參考資料

1. H. Jerome Keisler: Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals. 1976第一版，1986年第二版。已絕版。出版商己把著作權還於作者。作者提供了第二版的pdf 格式: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）