數學代數群領域中,根資料(原文為法文donnée radicielle)是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群,根資料是比根系更精細的不變量,若假設連通性,則它決定了代數群的結構(至多差一個同構)。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述,於1970年出版。

定義

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根資料是一組資料 ,其中:

  •  是有限秩自由阿貝爾群,其間有一個配對 使兩者互為對偶。
  •   的有限子集,  的有限子集,並存在其間的雙射 
  • 對任意 ,有 
  • 對任意 根鏡射 導出根資料的自同構(換言之:它將 一一映至 ,而在 上導出的對偶映射則將 一一映至 )。
  • 類似地,對任意 餘根鏡射 導出根資料的自同構。

 的元素稱作該根資料的 的元素稱為餘根

 不包含任意根的兩倍,則稱此根資料為既約的。

 。若 ,稱此根資料為半單的,

從根資料到根系

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對於根資料 ,取   中生成的子群,並設 ;利用對偶性,同樣可定義 。可證明   中的指數為有限的;因此 可視為 的對偶空間。可證明 成為一個根系

與約化代數群的關係

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 是域 上的約化代數群,並具有在 上分裂的極大環面 。定義相應的根資料 

  •  (極大環面的特徵標
  •  (極大環面的餘特徵標,或者說是其中的單參數子群
  •  是資料 的根。
  •  是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之,給定任一組根資料,存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系丹金圖精確,因為它不僅刻劃了群的李代數結構,還刻劃了群的中心。

對偶性

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給定任一根資料 ,藉著將 對換,將 對換,可以得到新的根資料,稱為其對偶。

 是代數封閉域 上的連通、約化代數群,則根資料的對偶決定了複數域  上唯一的連通、約化、分裂代數群LG,稱為 郎蘭茲對偶群

文獻

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