麥卡托投影法

麥卡托投影法(英語:Mercator projection),又稱墨卡托投影法正軸等角圓柱投影,是一種等角的圓柱形地圖投影法

麥卡托世界地圖(1569年)
以麥卡托投影法呈現的世界地圖。

本投影法得名於法蘭德斯(佛蘭德)出身的地理學家傑拉杜斯·麥卡托,他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,將地球在平面展開,緯線於任何位置皆垂直相交,使世界地圖可以繪製在一個長方形,地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位,指出真實的經緯度,航海用途的海圖航路圖大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變,從而可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變(即等角);但麥卡托投影會使面積產生變形,赤道地區變化最小,南北兩極的變形最大,但因為在南北迴歸線之間影響很少,而這是多數航線所在區域,所以被廣泛用來編製地圖。

數學計算編輯

 
地圖上縱向方位(圖中的橫軸)和緯度(圖中的縱軸)的關係。

下列公式定義在使用麥卡托投影的地圖中,從緯線φ經線λ(其中λ0是地圖的中央經線)如何推導為坐標系中的坐標xy

這是古德曼函數的逆推導:

 

這是古德曼函數:

 

比例尺與緯度φ正割成比例,越趨向極地φ = ±90°)面積變形越大。此外,由公式可知,極點處的y值為正負無窮大。

公式推導編輯

 
麥卡托投影是一種等角投影。

假設地球為正球形。(實際上並非為正球形,而是有扁率的,但製作小比例尺地圖時誤差可忽略不計。若需更精確,可插入等角緯線。)我們需要將經緯度坐標(λφ)轉換為笛卡爾坐標(xy),求以赤道為基準的切柱面投影(即x = λ),並保持形狀不變,故:

 
 

x = λ 可知

 
 

給出

 
 

因此,yφ的唯一函數,且可得到 ,由積分表

 

在地圖中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

 
以麥卡托投影法繪製的地圖。

錯覺編輯

由於麥卡托投影在高緯度過分放大,低緯度又過分縮小,因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭澳洲看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的紐幾內亞日本差不多大小。然而紐幾內亞島面積足足是日本的2倍。

以下是實際面積(單位:平方公里)

  • 澳洲:7,692,024平方公里
  • 格陵蘭:2,166,086平方公里
  • 日本:378,000平方公里
  • 紐幾內亞島:786,000平方公里

參見編輯

參考資料編輯

  • Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下載。
  • Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004. 
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.