倒頻譜cepstrum),顧名思義,就是將頻譜(spectrum)的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候,為了計算方便,將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位,再作逆傅里叶变换,把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜,及實數倒頻譜。

倒頻譜的範例

倒頻譜被定義在1963的論文(Bogert等)。定義如下:

  • 字義:倒頻譜(信號)是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜(信號),有時候會稱頻譜的倒頻譜。
  • 數學上:信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )(m為實數)
  • 演算法:信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱

複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊,實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊,各有各的不同應用。

複數倒頻譜與實數倒頻譜

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複數倒頻譜

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其中 
可能遭遇的問題
1.  
2.  有無限多的解
當輸入是實數時,因為 偶對稱 奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數

實數倒頻譜

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可能遭遇的問題
1.  

應用

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  • 倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊,倒頻譜一開始被發明在地震炸彈產生的地震回音,現今也被使用在分析雷達訊號,以及訊號處理等問題。
  • 自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性,自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。
  • 倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果,例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum),用來做聲音的辨認,偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。
  • 倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。
  • 倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波迴音電磁波的折、反射等),如果將其他路徑干擾視為雜訊,為了消除雜訊,利用倒頻譜,不需測量每條多路徑的延遲時間,可以利用傳送多次信號,觀察其他路徑在倒頻譜上的效果,並且加以濾除。
  • 語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成,我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開,以利於做語音訊號的分析。
  • 倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。
  • 倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。

倒頻譜觀念

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頻譜圖上的獨立變數是頻率,而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency),倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子,聲音訊號取樣速率等於44100赫茲,在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100,代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值,這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現,而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。

倒濾波器

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濾波器(filter)常使用在頻譜上,用來保存或刪除我們所要或不要的資訊,經過上面的許多討論,不難猜到,倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似,它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數,使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑,如此依來,當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。

計算倒頻譜的方法

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直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換)

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問題:   可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解

利用Z轉換的零點與極點

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先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式
 
其中 

分子:
第一項A是係數
第二項 是延遲
第三項是位於單位圓內的零點
第四項是位於單位圓外的零點

分母:
第一項是位於單位圓內的極點
第二項是位於單位圓外的極點

 取log變成 
 
假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形
根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換
 

注意事項
1. 總是IIR(無限脈衝響應)
2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況,  

利用Z轉換與微分

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對其做Z的反轉換
 

 

分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸
1.對於x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e.  
對於 
可得出
 

 
2.對於x[n]是最小相位(minimum phase)
 
3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e.  
 
4.對於x[n]是最大相位(maximum phase)
 

特性

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1. 複數倒頻譜至少以 的速度衰退
 
其中  
2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則
 
因為 
3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則
 
因為 
4. 如果x[n]是有限長度, 則 是無限長度

同態解卷積的應用(Application of Homomorphic Deconvolution)

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同態解卷積有非常多應用面,尤其是在聲學工程和語音分析方面的實用性

(1) 回聲的均衡化

 
其中 是接收到的訊號, 是原始訊號, 是延遲的樣本數, 是衰減係數
 是脈衝響應,描述原始訊號與回聲訊號之間的關係
 ,其中 是單位脈衝函數
 
系統函數  
透過對系統函數進行對數轉換,簡化回聲成分的分析和處理
 
 轉換到時域
 

(2) 聲學工程

 ,其中 是合成音樂, 是原始音樂, 是脈衝響應(例如建築物空間的影響)

(3) 語音分析

透過在complex cepstrum domain中進行濾波,分離這些成分,使得對語音訊號的理解和處理更為精確。
 ,其中 是語音波, 是全局波形, 是聲道脈衝, 是音高,*是卷積

(4) 地震信號分析

(5) 任意波傳播的多路徑分析

梅爾頻率倒頻譜

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梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用,梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理,對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性,而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:

  1. 梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計,人耳對於頻率的分辨能力,是由頻率的"比值"決定,也就是說,人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。
  2. 梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量對數,而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數
  3. 梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換,倒頻譜是用離散傅立葉變換
  4. 梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。


梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟:

  1. 將信號做傅立葉變換
  2. 頻譜上的值取絕對值再平方成為能量,在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。
  3. 對每個梅爾頻率取對數
  4. 離散餘弦轉換
  5. 求得梅爾頻率倒頻譜係數。

梅爾頻率倒頻譜應用

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  • 梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上,例如辨認電話中說話的人的身份。
  • 利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型,並且可以加以分類。

雜訊敏感性

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梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞,因此有些研究結果指出,在求梅爾頻率倒頻譜係數時,在作離散餘弦轉換前,提升適當的能量(大約2或3倍),以減少雜訊在低能量成份的影響。

梅爾頻率倒頻譜優點

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相較於原始的倒頻譜

  • 有絕對值平方

卷積

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倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生,其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加:

 



微分倒頻譜(differential cepstrum)

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定義

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If  
 
 
 
 
優點: (a)沒有模糊的相位 (b)可以處理延遲問題

特性

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(1)微分倒頻譜在shift和scaling時,結果不改變。
ex:  
 
(proof):
 
 
 
(2)複數倒頻譜  與 微分倒頻譜  和原訊號x[n]有關
  diff cepstrum
  recursive formula
 複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到
(3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則 ,當 
minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外
(4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則 ,當 
maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內
(5)如果x(n)為有限區間,則 為無限區間

  • 複數倒頻譜的衰減率反比於n
  • 微分倒頻譜的衰減率下降

 

範例

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  •   ,otherwise 0 , Find its cepstrum.

 

step 1. Z transform:  
step 2. log:  
step 3. reverse Z transform:  

  •   ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.

 

step 1. Z transform:  
step 2. exp:  
step 3. reverse Z transform:  

  • Suppose that an IIR filter is  

 

step 1. Z transform:  
step 2. log:  
step 3. reverse Z transform:  



參考文獻

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  1. B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
  2. D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing页面存档备份,存于互联网档案馆)," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.
  3. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008
  4. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024