最小相位

最小相位(minimum-phase)是控制理论信號處理中有特殊性質的系統,對於线性时不变系统,若本身為因果系统穩定,且其逆系統也是穩定的因果系统,此系統即為最小相位系統[1][2]

相反的,非最小相位(non-minimum phase)系統可以用最小相位系統串接全通濾波器,使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面,表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」(有些可能是传送迟延),這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統,其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內,此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內,則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

逆系統编辑

一系統 可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入,也就是可以找到系統 使得若將  二個系統連接,可以得到單位系統 (可以參反矩陣)。

 

假設 為系統 的輸入,其輸出為 

 

 作為逆系統的輸入,可得:

 

因此可以用逆系統 ,找到輸出 對應的唯一輸入 

離散時間的例子编辑

假設系統 是離散時間的線性非時變系統(LTI),可以用冲激响应 n為整數)表示。而且,假設系統 的 冲激响应為 。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示:

 

其中 克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統 不一定要是唯一的。

最小相位系統编辑

若系統再加上因果性穩定性的條件時,其逆系統就是唯一的,而且系統 和逆系統 都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下(針對非時變系統,其中的h為系統的沖激響應):

因果性编辑

 

 

穩定性编辑

 

 

有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。

頻域分析编辑

離散時間系統的頻域分析编辑

將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性,其時域方程式如下。

 

進行Z轉換後可以得到以下的關係。

 

由於上述關係,可得

 

為了簡單起見,只考慮有理传递函数 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)极点都需要嚴格的在单位圆內(參照有界輸入有界輸出穩定性)。假設

 

其中A (z)及D (z)是z多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零点)需要嚴格的在单位圆內(不能在邊界上)。而

 

因此 的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零点需要嚴格的在单位圆內,上述二個條件下,最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。

連續時間系統的頻域分析编辑

連續時間系統的分析和離散系統類似,不過會使用拉普拉斯变换,其時域的方程式如下。

 

其中 狄拉克δ函数狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子,因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。

 

進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。

 

也可以得到下式

 

為簡化起見,此處也只考慮有理传递函数H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有极点都要嚴格的在左半S平面(參考有界輸入有界輸出穩定性)。假設

 

其中A (s)及D (s)是s多項式 的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內,而

 

 的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內,因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

增益響應及相位響應的關係编辑

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統,都有一個常會用到的性質:增益頻率響應的自然對數(增益的對數單位為奈培,和分貝成正比),和頻率響應的相角(單位為弧度)有關,兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下,令

 

是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下,系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為

 

以及

 .

若用較精簡的方式表示,令

 

其中  都是實數下的實函數,則

 

 .

希爾伯特轉換算子定義為

  .

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

時域下的最小相位编辑

針對所有有相同增益响应的因果穩定系統,最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處,也就是說最小相位系統最小化了以下的函數(可以視為是冲激响应能量的延遲)。

 

最小相位及最小群延遲编辑

在所有增益响应相同的因果穩定系統中,最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮传递函数 中的一個零点  ,先讓零点 单位圆內( ),看對群延遲的影響。

 

因為零点  传递函数中貢獻了 的因子,因此其對相位的貢獻如下:

 
 
 
 
 

 所貢獻的相延遲如下。

 
 

若將零点 移到单位圆外的對應點,也就是 ,上式的分母和 都不會變化,而分子的 大小增加,因此讓 单位圆內可以讓群延遲中 的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形,因為 的相位是各項次相位相加的結果,因此,對於有 個零點的传递函数

 

一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小,因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。

 
上述計算的圖示。上下二部份是相同增益响应的濾波器(左圖為奈奎斯特图,右圖為相位響應),但上方零點 的系統,其相位響應的大小最小

非最小相位系統编辑

若系統本身是因果穩定系統,其逆系統具有因果性,但不穩定,原系統即為非最小相位系統(non-minimum-phase)。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應,但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

最大相位系統编辑

最大相位系統(maximum-phase)是和最小相位系統有相反特性的系統,最大相位系統也是非最小相位系統(系統本身是因果穩定系統,其逆系統具有因果性,但不穩定),而且

  • 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
  • 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。

也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中,最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中,最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數

 

這二個系統的增益響應相同,但第二個系統相位移的貢獻較大,因此第二個系統是最大相位系統,而第一個系統為最小相位系統。

混合相位系統编辑

離散時間下的混合相位系統(mixed-phase)有些零點在單位圓內,有些零在單位圓外,其群延遲不是最小值,也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內,有些零點在右半平面。

例如連續時間系統

 

是因果穩定系統,但有零點在左半平面,也有零點在右半平面,因此是混合相位系統。

線性相位编辑

線性相位英语linear phase(linear-phase)系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

相關條目编辑

參考資料编辑

  1. ^ Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. Linear estimation. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. 2000: 193. ISBN 0-13-022464-2. 
  2. ^ J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications (September 2007 Edition).

延伸閱讀编辑

  • Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
  • Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6