最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理论及信号处理中有特殊性质的系统，对于线性时不变系统，若本身为因果系统且稳定，且其逆系统也是稳定的因果系统，此系统即为最小相位系统。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系统可以用最小相位系统串接全通滤波器，使部分的零点移到右半面。若有零点在右半面，表示其逆系统不稳定。全通滤波器加入了“额外的相位”（有些可能是传送迟延），这也是为何所得系统称为非最小相位的原因。

例如一个离散系统，其有理传递函数若其所有的极点都在单位圆内，此系统为符合因果性的稳定系统。不过此系统的零点可以在单位圆内或是圆外的任意位置。若离散系统的零点也都在单位圆内，则这个系统也是最小相位的系统。以下会说明为何这様的系统会称为最小相位系统。

逆系统

一系统$\mathbb {H}$可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入，也就是可以找到系统$\mathbb {H} _{inv}$使得若将$\mathbb {H}$及$\mathbb {H} _{inv}$二个系统连接，可以得到单位系统$\mathbb {I}$（可以参反矩阵）。

$\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} =\mathbb {I}$

假设${\tilde {x}}$为系统$\mathbb {H}$的输入，其输出为${\tilde {y}}$

$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}$

将${\tilde {y}}$作为逆系统的输入，可得：

$\mathbb {H} _{inv}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}$

因此可以用逆系统$\mathbb {H} _{inv}$，找到输出${\tilde {y}}$对应的唯一输入${\tilde {x}}$。

离散时间的例子

假设系统$\mathbb {H}$是离散时间的线性非时变系统（LTI），可以用冲激响应$h(n)$（n为整数）表示。而且，假设系统$\mathbb {H} _{inv}$的 冲激响应为$h_{inv}(n)$。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示：

$(h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{inv}(n-k)=\delta (n)$

其中$\delta (n)$为克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统$\mathbb {H} _{inv}$不一定要是唯一的。

最小相位系统

若系统再加上因果性且稳定性的条件时，其逆系统就是唯一的，而且系统$\mathbb {H}$和逆系统$\mathbb {H} _{inv}$都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下（针对非时变系统，其中的h为系统的冲激响应）：

因果性

$h(n)=0\,\,\forall \,n<0$

及

$h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0$

稳定性

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty$

及

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{inv}(n)\right|}=\|h_{inv}\|_{1}<\infty$

在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。

频域分析

离散时间系统的频域分析

将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性，其时域方程式如下。

$(h*h_{inv})(n)=\,\!\delta (n)$

进行Z转换后可以得到以下的关系。

$H(z)\,H_{inv}(z)=1$

由于上述关系，可得

$H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}$

为了简单起见，只考虑有理传递函数 H (z)。因果性及稳定性表示所有的H (z)极点都需要严格的在单位圆内（参照有界输入有界输出稳定性）。假设

$H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}$

其中A (z)及D (z)是z的多项式。因果性及稳定性会使得D (z)的零点（根）需要严格的在单位圆内（不能在边界上）。而

$H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}$

因此$H_{inv}(z)$的因果性及稳定性也会使得为A (z)的零点需要严格的在单位圆内，上述二个条件下，最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。

连续时间系统的频域分析

连续时间系统的分析和离散系统类似，不过会使用拉普拉斯变换，其时域的方程式如下。

$(h*h_{inv})(t)=\,\!\delta (t)$

其中$\delta (t)$为狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子，因为其和任意信号x (t)都会有筛选性质。

$\delta (t)*x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)$

进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。

$H(s)\,H_{inv}(s)=1$

也可以得到下式

$H_{inv}(s)={\frac {1}{H(s)}}$

为简化起见，此处也只考虑有理传递函数H(s)。因果性及稳定性表示H (s)的所有极点都要严格的在左半S平面（参考有界输入有界输出稳定性）。假设

$H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}$

其中A (s)及D (s)是s的多项式。$H(s)$的因果性及稳定性表示D (s)的所有零点都在左半S平面内，而

$H_{inv}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}$

$H(s)$的因果性及稳定性表示A (s)的所有零点都在左半S平面内，因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。

增益响应及相位响应的关系

不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统，都有一个常会用到的性质：增益频率响应的自然对数（增益的对数单位为奈培，和分贝成正比），和频率响应的相角（单位为弧度）有关，两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下，令

$H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }\$

是系统H(s)的复数频率响应。在最小相位系统下，系统H(s)的相位响应和增益响应的关系为

$\arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace \$

以及

$\log \left(|H(j\omega )|\right)=\log \left(|H(j\infty )|\right)+{\mathcal {H}}\lbrace \arg \left[H(j\omega )\right]\rbrace \$.

若用较精简的方式表示，令

$H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}\$

其中$\alpha (\omega )$和$\phi (\omega )$都是实数下的实函数，则

$\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace \$

及

$\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\lbrace \phi (\omega )\rbrace \$.

希尔伯特转换算子定义为

${\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \$ .

在离散时间系统中也有等效的对应关系。

时域下的最小相位

针对所有有相同增益响应的因果稳定系统，最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处，也就是说最小相位系统最小化了以下的函数（可以视为是冲激响应能量的延迟）。

$\sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\,\,\,\,\,\,\,\forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}$

最小相位及最小群延迟

在所有增益响应相同的因果稳定系统中，最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。

假设考虑传递函数$H(z)$中的一个零点 $a$，先让零点$a$在单位圆内（$\left|a\right|<1$），看对群延迟的影响。

$a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ where }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a)$

因为零点 $a$ 在传递函数中贡献了$1-az^{-1}$的因子，因此其对相位的贡献如下：

$\phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)$

$={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)$

$={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)$

$={\mbox{Arg}}\left(\left\{1-\left|a\right|cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)$

$={\mbox{Arg}}\left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)$

$\phi _{a}(\omega )$所贡献的相延迟如下。

$-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}$

$-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}$

若将零点$a$移到单位圆外的对应点，也就是$(a^{-1})^{*}$，上式的分母和$\theta _{a}$都不会变化，而分子的$\left|a\right|$大小增加，因此让$a$在单位圆内可以让群延迟中$1-az^{-1}$的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形，因为$1-a_{i}z^{-1}$的相位是各项次相位相加的结果，因此，对于有$N$个零点的传递函数，

${\mbox{Arg}}\left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}{\mbox{Arg}}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)$

一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小，因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。

上述计算的图示。上下二部分是相同增益响应的滤波器（左图为奈奎斯特图，右图为相位响应），但上方零点$a=0.8<1$的系统，其相位响应的大小最小

非最小相位系统

若系统本身是因果稳定系统，其逆系统具有因果性，但不稳定，原系统即为非最小相位系统（non-minimum-phase）。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应，但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。

最大相位系统

最大相位系统（maximum-phase）是和最小相位系统有相反特性的系统，最大相位系统也是非最小相位系统（系统本身是因果稳定系统，其逆系统具有因果性，但不稳定），而且

• 离散时间系统下的零点都在单位圆外。
• 连续时间系统下的零点都在复数平面的右半边。

也就是其逆系统所有的极点都不稳定。

此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中，最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中，最大相位系统有最大的能量延迟。

例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数

${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}$

这二个系统的增益响应相同，但第二个系统相位移的贡献较大，因此第二个系统是最大相位系统，而第一个系统为最小相位系统。

混合相位系统

离散时间下的混合相位系统（mixed-phase）有些零点在单位圆内，有些零在单位圆外，其群延迟不是最小值，也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内，有些零点在右半平面。

例如连续时间系统

${\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$

是因果稳定系统，但有零点在左半平面，也有零点在右半平面，因此是混合相位系统。

线性相位

线性相位（linear-phase）系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。

相关条目

• 全通滤波器：一种特殊的非最小相位系统
• 克拉莫-克若尼关系式：物理上的最小相位系统

延伸阅读

• Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
• Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6