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作用量-角度坐标

經典力學裏,作用量-角度坐標(action-angle coordinate)是一組正則坐標,通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動旋轉頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個坐標,粒子依照著角度,捲繞於環面。

量子力學早期,波動力學發展成功之前,波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明,作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難,都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

哈密頓力學裏,作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論,特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾,混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明,對於微小微擾,環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標,對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析,對於 Lax pairs 的定義,更廣義地,對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想,都佔有關鍵地位。

導引编辑

保守的哈密頓量系統编辑

主條目:哈密頓特徵函數

假設,在一個物理系統裏,哈密頓量是保守的,也就是說,哈密頓量   不顯含時間;

 

其中, 運動常數 廣義坐標 廣義動量

採用哈密頓特徵函數  正則變換第二型生成函數。變換方程式為

 
 

其中,  是新廣義坐標  是新廣義動量

新哈密頓量   與舊哈密頓量   相等:

 

新廣義動量的哈密頓方程式

 

所以,新廣義動量是常數  

 

假設,這物理系統的哈密頓-亞可比方程式   為完全可分的,則哈密頓特徵函數   可以分離為   個函數  

 

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

 
 

週期性運動编辑

假若,粒子的運動是週期性運動,最常見的例子如振動旋轉都是週期性運動,則可以設計一個新正則坐標-作用量-角度坐標   。定義作用量為

 

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量   只跟    有關,經過積分,作用量  只跟   有關。所以,作用量向量   只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

 

雖然是同樣的物理量,函數的參數不同,形式也不同。

定義角度  

 

由於所有的廣義坐標   都相互獨立,所有的廣義動量   也都相互獨立,所以,所有的作用量   都相互獨立,作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣,哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

 

新哈密頓量   與舊哈密頓量   相等:

 

因為作用量   只是常數向量,所以,

 

哈密頓量   ,只跟作用量   有關,跟角度   無關。

角度   隨時間的導數   ,可以用哈密頓方程式決定:

 

每一個   都是常數,所以,  也是常數:

 

其中,  是積分常數。

運動頻率编辑

假設原本廣義坐標   的振蕩或旋轉的運動週期為   ,則其對應的角度變數   的改變是   。進一步了解物理量   的性質,猜想   與廣義坐標   週期性運動的頻率有關。可是,因為角度   是廣義座標   與作用量   的函數,無法確定前面的猜想。為了證實這論點,計算週期  

 

新哈密頓量   與舊哈密頓量   相等。所以,

 

假若   是個循環坐標,那麼,其共軛動量   必是個常數,可以從作用量的定義積分內提出來:

 

其中,   運動一週期的值。

這樣,

 

代入週期   的公式,

 

肯定地,  是廣義坐標   的頻率。

假若   不是循環坐標,則不能將其共軛動量   從作用量的定義積分內提出來,必須採用另外一個方法計算。從角度的定義,可以察覺角度   跟廣義坐標   、作用量   有關:

 

保持作用量不變,角度的虛位移   是:

 

在一個週期性物理系統裏,每一個廣義坐標   都有它運動的週期   。假若,其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同,則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若,兩個廣義坐標的週期不同    。在做閉路徑積分的時候,就必須使用使用一個新的週期   ,讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點.假若,兩個週期的比例是個有理數,則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

 

其中,     ,都是正值的整數。

同樣地,在多重週期性物理系統裏,假若,每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的,則此系統是完全可通約的,稱此系統為完全可通約系統。那麼,新週期  

 

其中,   ,都是正值的整數。

經過一個週期   ,角度   的變化是:

 

由於作用量   是個常數,可以將它從積分內提出:

 

所以,頻率是

 

假若,有任何兩個互相不可通約的廣義坐標    ,其週期    的比例是無理數。那麼,  不可能與   同時回到同一點。雖然如此,有理論證明,   仍舊分別是    的頻率。

傅立葉級數编辑

角度   是一組互相獨立的廣義坐標。所以,一般而言,每一個廣義坐標   可以用角度的傅立葉級數表示:

 

其中,   是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例,物理系統的哈密頓-亞可比方程式   為完全可分的。那麼,一個原本廣義坐標   只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示:

 

基本規則總結编辑

一般程序有三個步驟:

  1. 計算作用量變數  
  2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
  3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣,可以求得頻率  

簡併度编辑

在有些案例,兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率;也就是說,  for   。稱這些案例的運動狀態為簡併

簡併的運動給出暗示,很可能有更多的保守量。例如,克卜勒問題的頻率是簡併的,這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示,在多於一種坐標系統裏,哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如,克卜勒問題球坐標系拋物線坐標系,都是完全可分的。

參考文獻编辑

  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.