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刘维尔数

如果一个实数满足,对任意正整数,存在整数,其中

就把叫做刘维尔数

刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数,第一次说明了超越数的存在。

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基本性质编辑

容易证明,刘维尔数一定是无理数。若不然,则 。 取足够大的 使 ,在 时有

 

与定义矛盾。

刘维尔常数编辑

 

这是一个刘维尔数。取

 

那么对于所有正整数 

 

超越性编辑

所有刘维尔数都是超越数,但反过来并不对。例如,著名的e 就不是刘维尔数。实际上,有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明编辑

刘维尔定理:若无理数 代数数,即整系数 多项式 的根,那么存在实数 ,对于所有 

 

证明:令 ,记 的其它的不重复的根为  ,取这样的A

 

如果存在使定理不成立的 ,就有

 

那么, 

拉格朗日中值定理,存在  之间的 使得

 

 

 是多项式,所以

 

由于  

 

矛盾。

证明刘维尔数是超越数:有刘维尔数 ,它是无理数,如果它是代数数则

 

取满足 的正整数 ,并令 ,存在整数 其中  

 

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参见编辑

外部链接编辑