环论中,若某非无零因子环除了零理想英语Zero ideal及其本身兩個理想外沒有其他双边理想,则称该环为单环。特别地,交换环是单环当且仅当它是一个

单环的中心必是一個域,所以单环是该域上的一个結合代數。因此,单代数和单环是相同的概念。

此外,一些参考文献(例如Lang(2002)或Bourbaki(2012))还要求该环是左阿廷环或右阿廷环(即半单环)。在這種术语下,没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环(quasi-simple)。

存在在自身上不是单模的单环,即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想:例如域上的全矩阵环,它没有非平凡理想(因为的任何理想都具有的形式,其中的理想),但却有非平凡的左理想(例如,某些固定列为零的矩阵组成的集合)。

根据阿廷-韦德伯恩定理,所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地,如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间,则它必然與实数域、複數域或四元數域上的矩阵环同構。

单环,但非除环上的矩阵环的一个例子是外尔代数英语Weyl algebra

特徵编辑

如果一個环不包含非平凡的雙邊理想,则它是一個單代数。

单代数的直接示例是除法代数,其中每个非零元素都有一个乘法逆,比如四元数的实代数。此外,可以证明在除環中有元n  ×  n矩阵的代数是單代數。实际上,它可以描述所有有限維度的单代数,直到同构為止。換言之,在其中心上的任何有限維度單代数与某个除法环上的矩阵代数英语Matrix algebra同构。1907年,约瑟夫·韦德伯恩在其博士学位论文《論超复数》中證明這一件事。該論文出現於伦敦数学学会论文集裡。韋德伯恩在其论文中分類了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块:在代数的意义上,任何有限維度的半单代数都是單代數的笛卡尔积。

後來阿廷-韦德伯恩定理將韋德伯恩的結果廣義化到半单环。

例子编辑

R为实数域,C为複數域,H为四元数域。

韋德伯恩定理编辑

韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵(左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化)。也就是說,所有此類的環都是除環上的n × n矩陣,直至同構為止。

D為一個除環,Mn(D)D上有元矩陣的環。因此,可以證明Mn(D)中的所有左理想都用以下形式出現:

{M ∈ Mn(D) | M的第 n1, ..., nk行沒有元},

對於某個固定{n1, ..., nk} ⊆ {1, ..., n}。因此,Mn(D)中最小理想的格式為

{M ∈ Mn(D) | 除第k行外其餘所有行都沒有元},

對於某個給定的k。換言之,如果I是一個最小左理想,則I = Mn(D)e,其中e是一個幂等矩阵,在(k, k)元為1,在所有其他地方為0。此外,DeMn(D)e同構。左理想I可以視作eMn(D)e上的右模。環Mn(D)與該模上同胚的代數同構。

以上例子引出了下列引理:

引理:A是一個單位為1,冪等元素為e的環,其中AeA = A。設I為左理想Ae,視作一個eAe上的右模。則AI上同胚的代數同構,以Hom(I)表示。

證明:我們使用Φ(a)m = am定義「左規則表示」為Φ : AHom(I),對於mI。Φ是单射的,因為如果aI = aAe = 0,則aA = aAeA = 0,暗示a = a ⋅ 1 = 0

對於满射,設THom(I)。由於AeA = A,元素1可以表達成1 = Σaiebi。因此

T(m) = T(1 ⋅ m) = Taiebim) = Σ T(aieebim) = Σ T(aie) ebim = [ΣT(aie)ebi]m.

由於表達式[ΣT(aie)ebi]不取決於m,Φ是滿射的。引理證畢。

從以上引理可以得出韋德伯恩定理。

定理韋德伯恩如果A是一個有單位1和最小左理想I的環,則A與除環上n × n矩陣的環同構。

證明eAe是一個除環,只需驗證引理的假設,即求一個冪等元素e使得I = Ae。表明A是單環後可以得出A = AeA這個假設。

參考文獻编辑

  • A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
  • Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
  • Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
  • Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
  • Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
  • Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5