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在数论中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义编辑

 ,   是在同一个基础 上的三个向量空间。双线性映射是函数

 

使得对于任何  ,映射

 

是从  线性映射,并且对于任何 中的 ,映射

 

是从  的线性映射。

换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果就是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果 并且有 对于所有 中的 ,则我们称 对称的。

当这里的  的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积内积二次形式)。

如果使用在交换环 上的替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到 元函数,这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 和右模 与左模 的情况,我们可以定义双线性映射 ,这里的 是阿贝尔环,使得对于任何 中的 是群同态,而对于任何 中的 是群同态,并还满足

 

对于所有的 中的    中的 

性质编辑

定义的 ,  , 是有限维的,则 也是。对于 就是双线性形式,这个空间的维度是 (尽管线性形式的空间 的维度是 )。要看出来,选择  ;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 ,反之亦然。现在,如果 是更高维的空间,我们明显的有 ( 如果 ,  , 是有限维的,则 也是。对于 就是双线性形式,这个空间的维度是 (尽管线性形式的空间 的维度是 )。要看出来,选择  ;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 ,反之亦然。现在,如果 是更高维的空间,我们明显的有 

例子编辑

  • 矩阵乘法是双线性映射 
  • 如果在实数 上的向量空间 承载了内积,则内积是双线性映射 
  • 一般的说,对于在域 上的向量空间 ,在 上的双线性形式同于双线性映射 
  • 如果 是有对偶空间 的向量空间,则应用算子 是从 到基础域的双线性映射。
  •   是在同一个基础域 上的向量空间。如果  的成员而  的成员,则 定义双线性映射 
  •  叉积是双线性映射 
  •  是双线性映射,而 线性算子,则 是在 上的双线性映射。
  • 零映射,定义于 对于所有 中的 ,是从  的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上,如果 ,则 

参见编辑