一般矩陣乘積编辑
矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的列数(column,台湾作行數)和第二個矩陣的行数(row,台湾作列數)相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時,指的便是一般矩陣乘積。若 為 矩陣, 為 矩陣,則他們的乘積 (有時記做 )會是一個 矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出:
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以上是用矩陣單元的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解,運算結果相等:
由定義直接計算编辑
左邊的圖表示出要如何計算 的 和 元素,當 是個 矩陣和B是個 矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對,把每一對中的兩個元素相乘,再把這些乘積加總起來,最後得到的值即為箭頭相交位置的值。
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這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考:把向量和各係數相乘後相加起來。設 和 是兩個給定如下的矩陣:
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則
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舉個例子來說:
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左面矩陣的列為為係數表,右邊矩陣為向量表。例如,第一行是[1 0 2],因此將1乘上第一個向量,0乘上第二個向量,2則乘上第三個向量。
向量表方法编辑
一般矩陣乘積也可以想為是行向量和列向量的內積。若 和 為給定如下的矩陣:
- 且
其中
- 是由所有 元素所組成的向量, 是由所有 元素所組成的向量,以此類推。
- 是由所有 元素所組成的向量, 是由所有 元素所組成的向量,以此類推。
則
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矩陣乘法是不可交換的(即 ),除了一些較特別的情況。很清楚可以知道,不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果,而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同,也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。
雖然矩陣乘法是不可交換的,但 和 的行列式總會是一樣的(當 、 是同樣大小的方陣時)。其解釋在行列式條目內。
當 、 可以被解釋為線性算子,其矩陣乘積 會對應為兩個線性算子的複合函數,其中B先作用。
在MS Excel中做矩陣乘法编辑
- 先輸入要相乘的兩個矩陣,大小分別為 和 (注意:矩陣1的row數必須等於矩陣2的column數,矩陣乘法才有定義);
- 用滑鼠選取大小為 的空白格矩陣;
- 選取「MMULT函數」;
- 在函數引數視窗的array 1選取第一個矩陣,array 2選取第二個矩陣;
- 不要按「確定」,而是按Ctrl+⇧ Shift+↵ Enter這三個鍵的組合來關閉函數引數視窗。
以上步驟可參見MMULT函數引數視窗裡的「函數說明」。
阿達馬乘積编辑克羅內克乘積编辑
上述三種乘積都符合結合律:
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以及分配律:
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而且和純量乘積相容:
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注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換(即純量體為一可交換環)時會相同。
- ^ Lerner, R. G.; Trigg, G. L. Encyclopaedia of Physics 2nd. VHC publishers. 1991. ISBN 3-527-26954-1 (英语).
- ^ Parker, C. B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. 1994. ISBN 0-07-051400-3 (英语).
其它参考文献包括:
- Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
- Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
- Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
- Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.