哈代-李特爾伍德極大函數

數學上,一個局部可積函數哈代-李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值,是所有以該點為中心的上函數的平均值上確界

定義

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對一個在 上定義的局部可積函數f,可定義其哈代-李特爾伍德極大函數Mf如下

 

Mf(x)可能是 。) 其中m 上的勒貝格測度

性質

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Mf(x)是下半連續函數

證明

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對任何 ,可假設Mf(x) > 0。(否則幾乎處處f=0)

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

 

存在 使得 。 對任何 ,有  所以

 

因此Mf是下半連續。

哈代-李特爾伍德極大不等式

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 可積函數,對任何常數 ,有不等式

 

證明

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對每個在集合 內的點x,都有 ,使得

 

K 內的緊集 K的一個開覆蓋。因K緊緻,存在有限子覆蓋 。( 

維塔利覆蓋引理,這有限子覆蓋中存在子集 ,當中的開球兩兩不交,而且將這些開球的半徑增至三倍後 可以覆蓋K。於是

 

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性,集合 的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界,故有

 

應用

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哈代-李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理

參考

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  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.