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亨利·帕德

帕德近似(Padé approximant)是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒級數准确,而且当泰勒级数不收敛时,帕德近似往往仍可行,所以多用于在计算机数学中。

例如的泰勒级数

只有在时收敛,不如原函数广泛。

定义编辑

给定两个正整数m、n, 函数  的[m,n]阶帕德近似为

 

并且

 

对于给定的 函数 的[m,n]阶帕德近似是唯一的。

函数 的帕德近似记为

 

例子编辑

正弦函數编辑

 

 的6+6=12阶泰勒级数展开为

 
 的12阶泰勒级数全同:

 

指数函数编辑

 
其泰勒级数为
 

与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同:

 
又如

 

 


雅可比橢圓函數  编辑

 

第一類 5 階貝塞爾函數  编辑

 

误差函数编辑

 

菲涅耳積分  编辑

 

Maple计算编辑

Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数;

参考文献编辑

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Baker, G. A., Jr. Padé approximant, Scholarpedia, 7(6):9756.
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
  • Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562