截對角三方偏方面體

截對角三方偏方面體
截對角三方偏方面體
又稱杜勒多面體
類別 截對角偏方面體
8
18
頂點 12
歐拉特徵數 F=8, E=18, V=12 (χ=2)
面的種類 6個五邊形
2個三角形
對偶 雙三角錐反角柱
特性
雙三角錐反角柱.gif
雙三角錐反角柱
(對偶多面體)

幾何學中, 截對角三方偏方面體截對角偏方面體 這一系列的多面體中的第一個。它有六個五邊形,兩個三角形

幾何學中编辑

多面體可透過將一個立方體,或是三方偏方面體,或是一個菱面體,或一個平行六面體中一對處於對角位置的頂點切除,在立方體或著三方偏方面體的例子中,由於截面是平行的,以及原像的高度對稱,因此具有高度的旋轉對稱

杜勒多面體编辑

 
忧郁 I

這個多面體有時候也稱為杜勒立體杜勒多面體(Dürer's solid),因為它出現於阿爾布雷希特·杜勒的 1514年畫像《忧郁 I》。這圖像亦稱杜勒圖英语Dürer graph

關於杜勒所描述的立體形狀是一些學術辯論的主題。[註 1] 依照Lynch (1982),他假設該立體是一個立方體的截角的誤繪,該點子源於Strauss (1972); 然而大部分的來源資料同意其為菱面體的截角。 儘管有著這樣的同意,而這個菱面體在幾何學中確切的形狀是許多矛盾的理論的主題。

  • Richter (1957)聲稱杜勒多面體的原像菱面體中的菱形面的兩條對角線的比是 5:6,而這個數值所產生出來的菱形,其銳角的角度大約為80°[1]
  • Schröder (1980)以及Lynch (1982)在1980年代時認為該菱形對角線長的比應該是 而此數值產生出來的菱形,其銳角的角度會變成大約 82°[2][3]
  • MacGillavry (1981)時,測量了該圖形的特徵並測量出該菱形的銳角大約為 79°。他以及一位後來的另一位作者,沃爾夫·馮·恩格爾哈特英语Wolf von Engelhardt (參見 Hideko (2009))認為該角度的形成取決於自然形成的方解石結晶[4]
  • Schreiber (1999)認為根據杜勒的著作,所有的頂點應該是坐落在同一個球面上, 並更進一步的聲明該菱形的銳角為 72°[5]Hideko (2009)列舉了其他幾位同樣贊同該菱形銳角為72°的學者,從1955年的保羅·格罗津斯基(Paul Grodzinski)開始。他認為,這種理論的動機少於實際繪圖的分析,而比較傾向關於五邊形以及黃金比例的審美原則[3]
  • Weitzel (2004) 分析了對於同一個立體的1510年的草圖, 從中他確認了薛伯的假設,即該立體有一個 外接球 但菱形的銳角角度會是大約79.5°[2]
  • Hideko (2009)認為該形狀是為了描述一個著名的幾何學問題,倍立方體的解答,而杜勒也在1525年中提到。 他隨後總結出(在兩個頂點截去前)該立體是一個立方體沿著對角線伸長而成的。 更具體地說,他認為杜勒繪製了一個實際的立方體,長對角線平行於圖形平面英语Picture plane,然後在長對角線的方向上以因為某種因素而放大他的繪畫:結果會和他繪製一個被延長的圖形相同。放大的因素是因為關於倍立方後的體積是原立方體的 21/3 ≈ 1.253,但秀子導出不同的,為了適應圖紙的放大因素,1.277,以一個更複雜的方式[3]
  • Futamura,Frantz & Crannell (2014)將所提出的解決方案分類為該問題,透過兩個參數:銳角以及切面,稱為交比。 他們估算這個交比很接近麥克·蓋勒艾瑞的,而且具有一個接近 黃金比例的數值。 基於這一點,他們認為銳角是  而交比是精確的  [6]

參見编辑

註譯编辑

  1. ^ 參見 Weitzel (2004) 以及 Ziegler (2014),從中得出以下許多歷史事件。

參考資料编辑

  1. ^ Richter, D. H., Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers "Melancholie", Z. Vermessungswesen, 1957, 82: 284–288 and 350–357 . As cited by Weitzel (2004)
  2. ^ 2.0 2.1 Schröder, E., Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Basel, 1980 . As cited by Weitzel (2004).
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Lynch, Terence, The geometric body in Dürer's engraving Melencolia I, Journal of the Warburg and Courtauld Institutes (The Warburg Institute), 1982, 45: 226–232, JSTOR 750979, doi:10.2307/750979 
  4. ^ MacGillavry, C., The polyhedron in A. Dürers Melencolia I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B, 1981, 84: 287–294 . As cited by Weitzel (2004)
  5. ^ Schreiber, Peter, A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving "Melencolia I", Historia Mathematica, 1999, 26: 369–377, doi:10.1006/hmat.1999.2245 .
  6. ^ Futamura, F.; Frantz, M.; Crannell, A., The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid, Journal of Mathematics and the Arts, 2014, 8 (3-4): 111–119, arXiv:1405.6481, doi:10.1080/17513472.2014.974483 .
  1. Strauss, Walter L., The Complete Engravings of Dürer, New York: 168, 1972, ISBN 0-486-22851-7 . As cited by Lynch (1982).
  2. Weber, P., Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus, Strassburg, 1900 . As cited by Weitzel (2004).
  3. Weitzel, Hans, A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I, Historia Mathematica, 2004, 31 (1): 11–14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6 .
  4. Hideko, Ishizu, Another solution to the polyhedron in Dürer's Melencolia: A visual demonstration of the Delian problem (PDF), Aesthetics (The Japanese Society for Aesthetics), 2009, 13: 179–194 .
  5. Ziegler, Günter M., Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube, Alex Bellos's Adventures in Numberland, The Guardian, December 3, 2014 .

外部連結编辑