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戴尔指数(英語:Theil Index)又稱為泰爾指數[1],是一个衡量经济不平等[2]的统计量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象,如種族隔離[3][4][5]

戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴尔指数等於資訊冗餘,也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵,它是广义熵指数英语generalized entropy index的特例,可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。[5]

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大學计量经济学亨利·戴尔英语Henri TheilHenri Theil)所提出。[5]

数学公式编辑

假設一個人口為N的群體,其收入分別為xi (i = 1,...,N),則它的戴爾指數T定義為[6]

 

而戴爾指數L則定義為

 

其中 为第 个人的收入, 为平均收入, 为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例,第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 fk (k = 0,...,W),其中fk是收入為k的人口比例,而W = 代表總收入,可以得知   。 它的戴爾指數T定義為:

 

這裡的 一樣是收入平均

 

其中應注意到收入k是一個整數,k=1代表最小收入增量(比如新台幣1元)。

如果收入分布是個連續分布函數f(k),k取值0到無窮,其中f(kdk 是收入為kk + dk的人口數量,那戴爾指數T定義為:

 

其中平均 為:

 

一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示:

收入分布函數 PDF(x) (x ≥ 0) 戴尔指数(納特
狄拉克δ函數   0
連續型均勻分布    
指數分布      
對數常態分布    
帕累托分布        (α>1)
卡方分布       
伽瑪分布     
韋伯分布       

如果每一个人都有相同的收入,即等于均值,则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入,则指数为 TT 除以  可以將方程歸一化到0到1的範圍,但這樣違反獨立公理英语Economic inequality metrics:  並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導编辑

戴尔指数导自克勞德·夏農信息熵,他的一般數學形式為:

 

其中  是從人群裡找到 的機率。 玻爾茲曼常數。在信息論中,當信息以二進制數字給出時, 並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中,選擇自然對數作為對數基底。當 替換成人均收入 時,需要除以總收入達到歸一化 。那可以導出,觀察到的信息熵為:

 

 为戴尔指数, 夏農熵,则有

 

其中,ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项,即总收入中个人所占份额相同。

符號 信息論 戴爾指數 TT
  字符數 人口數
  某個特定字符 某個特定人
  第i個字符 character 第i個人的收入
  總字符數 總收入
  未被使用的資訊空間 未使用潛在價格機制

可分解性编辑

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和[1]。例如,美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和,由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为 个子群体,  为群体  的收入比例, 为该子群体的戴尔指数,而   为子群体  的平均收入,则戴尔指数为

 

因此,我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数,该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 徐淑娟. 中国经济发展中的行业收入差距问题研究. 西南財經大學出版社. 2018-02-01: 33–34 [2019-01-14]. ISBN 7550428530 (中文(中国大陆)‎). 
  2. ^ Introduction to the Theil index from the University of Texas (PDF). [2006-01-15]. (原始内容存档 (PDF)于2005-11-18). 
  3. ^ Diversity and Social Segregation. geodacenter.asu.edu. [2016-03-18]. (原始内容存档于2012-07-10). 
  4. ^ Segregation Measures. www.urban.org. Urban Institute. [5 February 2018] (英语). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Parker, Lauren. Racial and Ethnic Segregation: In the News and On PolicyMap. PolicyMap. 20 July 2015 [5 February 2018]. 
  6. ^ Redundancy, Entropy and Inequality Measures. [2019-01-11] (英语). 

外部連結编辑