拉姆齐定理

数学定理

組合數學上,拉姆齐定理(英語:Ramsey's theorem),又称拉姆齐二染色定理,斷言對任意正整數,若一個聚會的人數足夠大,則無論相识關係如何,必定有个人相识或个人互不相识。給定時,保證前述結論的最小值稱為拉姆齊數,其值取決於。用圖論術語複述:若將足夠大的完全圖各邊染紅藍兩色,則不論如何染,必定有紅色的階完全圖或藍色的階完全圖。[註 1]

拉姆齊定理是組合數學的重要結論,以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名。他在1930年論文《論形式邏輯的一個問題》[1]證明此定理最初的版本,開創現稱拉姆齊理論的組合理論分支。拉姆齊理論的主題是從「無序」尋找「規律」,希望找出某數學結構中,存在規律子結構的一般條件。在拉姆齊定理的圖論表述中,此「規律子結構」是同色集(monochromatic set),即頂點集的子集,其中各邊皆染成同一顏色。

拉姆齊定理不止一條,前述版本的若干引伸仍稱拉姆齊定理。例如,可以將二染色推廣至更多種色,此時定理斷言:對任意色數,和任意正整數,必有某數,使階的完全圖各邊不論如何染色,仍必可找到某(介於)和某階完全子圖,其各邊皆染第色。可見拉姆齐二染色定理是的特例(同時取)。

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R (3, 3) = 6编辑

在6個頂點的完全圖 內,每邊塗上紅或藍色。欲證必然有一個紅色的三角形或藍色的三角形。

  • 任意選取一個端點 ,它有5條邊和其他端點相連。
  • 根據鴿巢原理,5條邊染兩種顏色,至少有3邊顏色相同,不失一般性設這種顏色是紅色,又設該三邊為 
  •  三個頂點,互相連結的邊有 三條。
    • 若這3條邊中任何一條是紅色,這條邊的兩個端點和 便組成一個紅色三角形。
    • 若這3條邊中沒有紅邊,則都是藍色,因此, 是藍色三角形。

以上論證對一切染色法都適用,所以 的任何二染色皆有同色 ,換言之 。这个定理的通俗版本稱為朋友與陌路人定理

另一種證法是算兩次:考慮「異色角」的數目,即滿足 為紅而 為藍的有序三頂點組 的個數。若先固定中間的頂點 ,則對應三元組的數目可能是

  •  (若其全部邊染同色);
  •  (若有四邊染某色,另一邊不同色);或
  •  (若有三邊染某色,另兩邊染另一色)。

所以,至多是 ,而 本身有6種可能,異色角的總數至多是 。但是,對於三邊不完全同色的三角形,恰好有兩隻異色角,所以,至多有 個異色三角形。考慮到6個頂點組成 個三角形,至少有兩個是同色三角形,再次得到 的結論。

反之,將 二染色,不一定有同色的三角形。此構造在同構意義下唯一,如下圖所示:將五個頂點排成一圈,每個端點和毗鄰的兩個端點之間的連線染紅色,與其餘兩個端點的連線染藍色,則不產生同色三角形。所以, 

1953年普特南數學競賽考過 [2]1947年匈牙利屈爾沙克·約瑟夫數學比賽(匈牙利語Kürschák József Matematikai Tanulóverseny)亦然。[3]

R (3, 3, 3) = 17编辑

多色拉姆齊數就是用三種或更多顏色的拉姆齊數。若不考慮對稱的情況,僅有兩個非平凡的多色拉姆齊數為已知:  [4]

設將某完全圖的邊染紅綠藍三色,而無同色三角形。選任一頂點 ,考慮以紅邊與 相連的各點,組成 的「紅鄰域」。紅鄰域之內不能再有任何紅邊,否則該紅邊與 一同組成紅色三角形。所以紅鄰域內的邊衹用藍綠兩色。由上節  的紅鄰域最多衹有5個頂點,否則有藍或綠的同色三角形。同理, 的綠鄰域和藍鄰域,各有至多5個頂點,但圖中每個頂點,或為 本身,或屬 的某色鄰域,所以全圖至多 個頂點。故 

欲證 ,現需用三種顏色畫出16個頂點的完全圖,而不產生同色三角形。若不辨同構之異,則恰有兩種畫法,分別稱為「無扭」(untwisted)和「有扭」(twisted)染法,見上圖。

 的有扭或無扭染色中,選任一顏色,該色邊組成的子圖都是克萊布殊圖英语Clebsch graph

對較少頂點的完全圖,已知 亦衹得兩種染三色的方法無同色三角形,分別來自 的兩種染法,刪去任意一個頂點。 則有115種方法染三色而無同色三角形,但此數不僅不辨圖同構(頂點的置換),還不辨顏色的置換。

拉姆齐数编辑

定義编辑

拉姆齐数,用图论的语言有两种描述:

  1. 对于所有的N顶图,包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数,记作R(k,l);
  2. 在着色理论中是这样描述的:对于完全圖 的任意一个2边着色 ,使得 中含有一個k阶子完全图, 含有一個l阶子完全图,则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。(注意: 按照图论的记法表示i阶完全图)

拉姆齐证明,对与给定的正整數数kl,R(k,l)的答案是唯一和有限的。

拉姆齐數亦可推廣到多於兩個數:

对于完全圖 的每條邊都任意塗上r種顏色之一,分別記為 ,在 中,必定有個顏色為  阶子完全图,或有個顏色為  阶子完全图……或有個顏色為  阶子完全图。符合條件又最少的數n則記為 

數值或上下界编辑

已知的拉姆齐數非常少,保羅·艾狄胥曾以一個譬喻來描述尋找拉姆齐數的難度:「想像有隊外星人軍隊在地球降落,要求取得R(5,5)的值,否則便會毀滅地球。在這個情況,我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若他們要求的是R(6,6)的值,我們要嘗試毀滅這班外星人了。」[來源請求]

顯然易見的公式: R(0,s)=0, R(1,s)=1, R(2,s)=s (將 的順序改變並不改變拉姆齐的數值)。

拉姆齐数R(r, s)的值/已知上下界 (OEIS中的数列A212954
s
r
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6 9 14 18 23 28 36 40–42
4 18 25[5] 36–41 49–61 59[6]–84 73–115 92–149
5 43–48 58–87 80–143 101–216 133–316 149[6]–442
6 102–165 115[6]–298 134[6]–495 183–780 204–1171
7 205–540 217–1031 252–1713 292–2826
8 282–1870 329–3583 343–6090
9 565–6588 581–12677
10 798–23556

組合電子期刊英语Electronic Journal of Combinatorics有不定期更新的動態綜述,介紹拉姆齊數的研究成果。[4]

漸近性質编辑

拉姆齊數滿足不等式 。由此,利用數學歸納法,可以證明

 

上述結果歸功於艾狄胥塞凱賴什。當 時,用史特靈公式化成:

 

其中誤差項o (1),當 趨向於無窮時,趨向 

下界方面,1947年艾狄胥首創概率法英语Probabilistic method,證明

 

雖然上下界皆是指數形式,但兩者底數不同,實際大小相差甚遠,如 時,給出的界是 。不過,截至2021年,上下界的底數仍毫無改進,依舊是  ,僅有較低階項的改進。而且,下界依賴非構造性的概率方法,未有任何確切構造[註 2]能給出指數下界。暫時所知最佳結果為:

 

分別為斯賓塞英语Joel Spencer康倫英语David Conlon所證。

至於非對角拉姆齊數 ,已知其增長級別為 ;等價說法是, 個頂點且無三角形英语triangle-free graph的圖 獨立數 的最小值用大Θ符號表示成

 

 的上界由奧伊陶伊英语Miklós Ajtai科姆洛什英语János Komlós (mathematician)塞迈雷迪證出,而 級的下界原先由金正翰英语Jeong Han Kim(音譯)證明,其後格里菲斯、莫里斯英语Robert Morris (mathematician)、菲斯·庞蒂韦罗斯三人[7]波曼英语Tom Bohman基瓦什英语Peter Keevash兩人[8]藉分析「無三角形過程」,分別將下界獨立改進至

 

一般的非對角拉姆齊數 ,當 固定而 增大時,已知最優的上下界為

 

分別歸功於波曼、基瓦什兩人和奧伊陶伊、科姆洛什、塞迈雷迪三人。

延伸编辑

無窮圖编辑

本定理可引伸適用於無窮圖,同樣稱為拉姆齊定理。與有限圖的拉姆齊定理相提並論時,或稱無窮拉姆齊定理(Infinite Ramsey theorem)以作區分。

 為無窮集,以 表示其兩兩所連邊的集合(即 全體二元子集組成的族),每邊染成 色之一。則存在同色無窮階完全圖,即有無窮子集 ,其邊集 同色。[9][10]:1

證明:取任一 。自 引出無窮多條邊,必有某色 出現無窮多次。記 為該些邊另一端點的集合。又取任一 ,同樣自 有無窮多條邊引至 ,故必有某色 及無窮子集 ,使 引至 的各邊皆染 色。

餘可類推,得到一列互異的元素 及一列顏色 。由於僅得有限多種色,必有顏色出現無窮多次,即有 對於無窮序列 成立。此時,有 為無窮子集,且其元素兩兩連邊同色(因為邊 所染為 色),證畢。

本定理對於超圖(即 換成 )亦成立。[9][10]:2

關於無窮圖的二染色,艾狄胥-杜什尼克-米勒定理英语Erdős–Dushnik–Miller theorem是較強的結果,但其中兩種顏色不對等。定理斷言,任意無窮圖(頂點數不必可數)的邊若染紅藍兩色,則或有可數無窮大的紅色完全子圖,或有與原圖同樣大的藍色完全子圖。[11]

無窮推出有限编辑

運用反證法,可以證明無窮拉姆齊定理推出有限拉姆齊定理。[12]

反設有限拉姆齊定理不成立,即某個拉姆齊數不存在,則有整數  滿足:對任意正整數 ,完全圖 [註 3]皆有某種染 色的方案,而不產生同色的 元子集。以 表示此種方案的集合。

對任意 ,可將 中任意一種染色限制到子圖 (即刪去頂點 ),不會額外產生同色的 元子集,所以所得的染色仍在 中。 中,某些染色是以上述方式,由 的染色限制而成,此種染色構成 的子集,記為 。由假設, 非空,所以 亦非空。

同樣, 元素的限制必屬 ,故可定義 為此種限制所得染色法的集合,其不為空。類推對所有正整數 定義 

現對每個正整數 ,有 ,且逐個集合非空。又 為有限集,因為由乘法原理,全體染色方案,不論是否有同色 元集,總數是 。由此,整個序列的交集 非空。[註 4]又每個 的元素來自 某元素的限制,可知 每個元素都來自 元素的限制,從而由 的染色出發,可以延拓成 的染色,並可重複,直至得到無窮圖 的染色,而無同色 元集,與無窮拉姆齊定理矛盾。

以拓撲學觀之,此為標準的緊論證compactness argument[12],相當於考慮全體染色的拓撲空間 ,而由吉洪諾夫定理,其為若干個有限(從而)空間 ,所以仍為緊。而條件「在子圖 上不產生同色 元集」,描述該空間的一個閉開集,所以有限交非空推出全體交非空。

超圖编辑

定理亦可推廣至超图。一個 均勻超圖(或 超圖)就是將圖的邊由二元子集換成 元子集。超圖拉姆齊定理敍述如下:

對任意正整數  ,以及任意正整數 ,存在拉姆齊數 ,使得 階完全 超圖的各邊,不論如何染 種色,必存在 令圖中可找出某個衹染 色的 階完全 超圖。

此定理一般對 歸納證出, 的初始情況正如前文。

有向圖编辑

亦可定義有向圖的拉姆齊數,最早由P. Erdős and L. Moser (1964提出。設 為最小的正整數 ,使得 階完全圖中,若為每邊賦兩種定向之一(所得有向圖稱為循環賽圖英语tournament (graph theory)),則必有無圈的 階循環賽圖[註 5]

此前 定義為保證 階完全無向圖染兩色會有同色完全 階子圖的最小 值,可見  的有向類比:兩種顏色現換成邊的兩種方向,而「同色」換成「全部邊方向統一」(所以無圈)。

已知        [13][14]

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  1. ^ 有些作者如(Brualdi 2010)及(Harary 1972)要求 ,以免對單一頂點(從而無邊)的圖的邊染色。亦有(Gross 2008)和(Erdős & Szekeres 1935)等作者將兩種色換成有邊與否,從而定理敍述變成:在足夠大的簡單圖中,必有  獨立集。此形式下或可更自然地考慮單頂點的圖。
  2. ^ 意即多項式時間算法的輸出結果。
  3. ^ 為方便起見,頂點集設為 
  4. ^ 考慮元素個數的最小值為何。
  5. ^ 又稱遞移(transitive)循環賽圖。

參考文獻编辑

  1. ^ Ramsey, F. P. On a Problem of Formal Logic [論形式邏輯的一個問題]. Proceedings of the London Mathematical Society. 1930, s2–30 (1): 264–286. doi:10.1112/plms/s2-30.1.264 (英语). 
  2. ^ Gleason, A. M.; Greenwood, R. E.; Kelly, L. M. (编). The William Lowell Putnam Mathematical Competition Problems and Solutions: 1938–1964 [威廉·羅威爾·普特南數學競賽問題和解答:1938-1964]. Mathematical Association of America. 1980: 38. ISBN 9780883854624 (英语). 
  3. ^ Liu, Andy; Leigh, Robert Barrington (编). Hungarian Problem Book IV: Based on the Eötvös Competitions 1947–1963 [匈牙利問題集四:選自厄特沃什比賽1947-1963]. 2011: 1. ISBN 9780883858318. doi:10.5948/UPO9781614444053 (英语). 
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  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Exoo, Geoffrey; Tatarevic, Milos. New Lower Bounds for 28 Classical Ramsey Numbers. The Electronic Journal of Combinatorics. 2015, 22 (3): 3 [2018-09-02]. (原始内容存档于2021-02-28). 
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外部链接编辑