有限秩算子類似有限大小的矩陣,但是放在無窮維空間中。於是,可藉線性代數技巧刻畫其性質。
由線性代數知,複矩陣 之秩為1,當且僅當 可以寫成:
- 其中 且
同樣可證希氏空間 上,算子 之秩為1,當且僅當
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其中 與有限維情況滿足同等條件。由此,用數學歸納法,可證秩 的算子 必可寫成
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其中 和 皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解,可以稱為有限秩算子的「典範型」(canonical form)。
略加推廣,若 改為可數無窮,而正實數列 僅會聚於0,則 為緊算子,相應的和式稱為緊算子的典範型。
若級數 (跡)收斂,則 是迹类算子。
希氏空間 上,全體有限秩算子之族 是有界算子代數 的雙邊*理想。此外,其為此類(非零)理想中最小者,即 的任何雙邊*理想 必包含全體有限秩算子。簡證如下:取非零算子 ,則有非零的 使 。衹需證對任意 ,將 映至 的秩1算子 屬於 。同樣定義 和 ,則有
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從而 在 中,證畢。
的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數,而 在此三個賦範空間中稠密。
由於 的每個雙邊理想都包含 , 為單代數當且僅當有限維。