有限秩算子

泛函分析中，有限秩算子（英语：Finite-rank operator）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。

希尔伯特空间中

典范型

有限秩算子类似有限大小的矩阵，但是放在无穷维空间中。于是，可藉线性代数技巧刻画其性质。

由线性代数知，复矩阵$M\in \mathbb {C} ^{n\times m}$之秩为1，当且仅当$M$可以写成：

$M=\alpha \cdot uv^{*}$ 其中 $\|u\|=\|v\|=1$ 且 $\alpha \geq 0$

同样可证希氏空间$H$上，算子$T$之秩为1，当且仅当

$Th=\alpha \langle h,v\rangle u\quad \forall h\in H,$

其中$\alpha ,u,v$与有限维情况满足同等条件。由此，用数学归纳法，可证秩$n$的算子$T$必可写成

$Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad \forall h\in H,$

其中$\{u_{i}:i=1,2,\ldots ,n\}$和$\{v_{i}:i=1,2,\ldots ,n}\$皆为标准正交基。前述表示法实质等同于奇异值分解，可以称为有限秩算子的“典范型”（canonical form）。

略加推广，若$n$改为可数无穷，而正实数列$\{\alpha _{i}\}$仅会聚于0，则$T$为紧算子，相应的和式称为紧算子的典范型。

若级数$\sum _{i}\alpha _{i}$（迹）收敛，则$T$是迹类算子。

代数性质

希氏空间$H$上，全体有限秩算子之族$F(H)$是有界算子代数$L(H)$的双边*理想。此外，其为此类（非零）理想中最小者，即$L(H)$的任何双边*理想$I$必包含全体有限秩算子。简证如下：取非零算子$T\in I$，则有非零的$f,g$使$Tf=g$。只需证对任意$h,k\in H$，将$h$映至$k$的秩1算子$S_{h,k}$属于$I$。同样定义$S_{h,f}$和$S_{g,k}$，则有

$S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},\,$

从而$S_{h,k}$在$I$中，证毕。

$L(H)$的双边*理想举例有迹类、希尔伯特-施密特算子类、紧算子类。三类各自配备范数，而$F(H)$在此三个赋范空间中稠密。

由于$L(H)$的每个双边理想都包含$F(H)$，$L(H)$为单代数当且仅当有限维。

巴拿赫空间中

巴拿赫空间$U,V$之间的有限秩算子$T:U\to V$是值域仅得有限维的有界算子。与希氏空间的情况一样，可以写成

$Th=\sum _{i=1}^{n}\langle u_{i},h\rangle v_{i}\quad \forall h\in U,$

其中$v_{i}\in V$，但由于$U$中没有定义内积，$u_{i}\in U'$换成$U$上的有界线性泛函。

有界线性泛函是有限秩算子的特例，其秩为1。