李氏括号

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向量場中的李括號微分拓樸的數學領域下,以Jacobi–李括號向量場的交換子所廣知,是於某微分流形 M的任意兩 向量場 XY 所決定之算子所形成的第三向量場,以[X, Y]標示。

李括號 [X, Y] 在概念上為沿著由 X 生成的 向量流(vector field flow)的Y微導,常寫為 ("沿著 X 的Y 李微導")。

李括號是個R-雙線性算子,且將所有在流形M光滑向量體轉成 (無限維) 李代數.

微分幾何微分拓樸 中的李括號扮演了相當重要的角色,例如在作為非線性控制的幾何理論基礎的弗罗贝尼乌斯定理就可看到。[1]

定義编辑

目前李括號有下列三種概念性的微分等價定義:

作為微導的向量場编辑

在流形M上的每個平滑向量場X 能被視為作用在C(M)的平滑函數 微分算子。而確實,每個向量場 X 可成為在C(M) 上的微分算子导子),使我們可定義 X(f) 的函數,計算他在方向X(p)上點pf方向导数,更進一步並可論道任意於C(M)的微導是由唯一平滑向量場X所致。

一般來說,任意兩微導   交換子   亦是微導,當中   為算子之組合,對任意 能用於定義關乎微導交換子向量場的李括號:

 .

流與極限编辑

  為關乎向量場 X 及 D 表示前推,那麼在點xMXY 的李括號能被定為 李导数

 

這也測量了連續方向的流動失敗   至點 x:

 

坐標上编辑

雖上述李括號的定義為 本質出發 (基於流形M上座標的選擇獨立性),尤其人們常會想以括號運算替代特定坐標系 。我們替切線束的相關局部基底寫下 ,使得對平滑函數 而言,一般向量場能寫成   。如此李括號則由以下方式計算:

 

MRn的某開子集,那麼向量場'XY 能被寫成由平滑函數  形式,且李括號  由以下給定:  

此處之    是為 n×n 雅可比矩阵 乘上 1 欄向量 XY

性質编辑

向量場的李括號等同於所有在M (i.e.,切線束的平滑截  ) 上實向量空間 有一李代數的結構,表 [ • , • ] 為具以下之  的映射:

  • R-雙線性形式
  • 反-對稱姓,  
  • 雅可比恒等式 

第二性質可馬上推得對任意   的結果。

更進一步說,李括號具有 "乘法規則"。 給定一平滑 (純量值) 函數 f 與在M上的向量場,由每點xM的純量乘向量Yx後我們得到一個新的向量場fY ,如此:

  •  

此處我們用向量場Y乘上純量函數 X(f) ,及向量場[X, Y]與純量函數 f 如此引導出一具李括號的向量場至 李代數

XY的李括號為零,表示這些方向的流定了一以XY作為座標向量場而內嵌入於M之曲面:

定理:   若且為若XY的流局部交換,此指對所有xM且足夠小的s, t 

而這為弗罗贝尼乌斯定理的特例。

範例编辑

李群 G相關的 李代數   為在么上的切空間 ,是由在 G 的左不變向量場定之向量空間。而兩左不變向量場的李括號亦是左不變,而此定義 Jacobi–李算子 .

李群矩陣的元素為  ,切空間能被重現為矩陣:  , 此處   表矩陣乘法,且 I 為單位矩陣,關乎 的不變向量場是由 給定,計算更顯示  上的李括號與矩陣 交換子 一致:

 

應用编辑

在證明控制仿射無漂系統(driftless affine control system)的小時間局部可控制性(small-time local controllability、STLC)時,李氏括号是其中重要的一部份。

總結编辑

如上所述,李导数可被視為廣義的李括號。其他可視為是(向量值微分形式)廣義李括號的有弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号(Frölicher–Nijenhuis bracket)

相關條目编辑

參考编辑

  1. ^ Isaiah 2009,第20–21页, nonholonomic systems; Khalil 2002,第523–530页, feedback linearization.

其他阅读编辑