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歐拉-拉格朗日方程

歐拉-拉格朗日方程英语:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是

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第一方程编辑

 ,以及  中連續,並設泛函

 

 使得泛函 取得局部平穩值,則對於所有的 

 

推廣到多維的情況,記

 
 
 

 使得泛函 取得局部平穩值,則在區間 內對於所有的 ,皆有

 

第二方程编辑

 ,及  中連續,若 使得泛函 取得局部平穩值,則存在一常數 ,使得

 

例子编辑

  為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設 ,並且

 

這裏, 為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

 

現設

 
 

取偏微分,則

 
 
 

 使得 取得局部平穩值,則 符合第一方程:

 
 

因此,

 
 

 積分,

 
 

這裏, 為常數。重新編排,

 
 

再積分,

 
 

代入初始條件

 
 

即可解得 ,是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得 取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

參閱编辑

參考書籍编辑

  • Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.