欧拉-拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程(英语:Euler-Lagrange equation)为变分法中的一条重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的临界值(平稳值)函数,换句话说也就是求此泛函在其定义域的临界点的一个方法,与微积分差异的地方在于,泛函的定义域为函数空间而不是

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程

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 ,以及  中连续,并设泛函

 

 使得泛函 取得局部平稳值,则对于所有的 

 

推广到多维的情况,记

 
 
 

 使得泛函 取得局部平稳值,则在区间 内对于所有的 ,皆有

 

第二方程

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 ,及  中连续,若 使得泛函 取得局部平稳值,则存在一常数 ,使得

 

例子

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例一:两点之间最短曲线

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  为直角坐标上的两个固定点,欲求连接两点之间的最短曲线。设 ,并且

 

这里, 为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

 

现设

 
 

取偏微分,则

 
 
 

 使得 取得局部平稳值,则 符合第一方程:

 
 

因此,

 
 

 积分,

 
 

这里, 为常数。重新编排,

 
 

再积分,

 
 

代入初始条件

 
 

即可解得 ,是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析,可知此解为唯一解,并且该解使得 取得极小值,所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

例二:两点之间最短曲线的另一种求解

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另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = cy(b) = d,并且沿着y所定义的曲线道路长度最短。

 

被积函数为

 

L的偏导数为

 

以及

 

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程,可以得到

 

也就是说,该函数的一阶导数必须为常值,因此其图像直线

参阅

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参考书籍

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  • Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.