歐拉-拉格朗日方程式

歐拉-拉格朗日方程式(英語:Euler-Lagrange equation)為變分法中的一條重要方程式。它是一個二階偏微分方程式。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是

該方程式由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉與意大利數學家約瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程式

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 ,以及  中連續,並設泛函

 

 使得泛函 取得局部平穩值,則對於所有的 

 

推廣到多維的情況,記

 
 
 

 使得泛函 取得局部平穩值,則在區間 內對於所有的 ,皆有

 

第二方程式

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 ,及  中連續,若 使得泛函 取得局部平穩值,則存在一常數 ,使得

 

例子

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例一:兩點之間最短曲線

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  為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設 ,並且

 

這裏, 為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

 

現設

 
 

取偏微分,則

 
 
 

 使得 取得局部平穩值,則 符合第一方程式:

 
 

因此,

 
 

 積分,

 
 

這裏, 為常數。重新編排,

 
 

再積分,

 
 

代入初始條件

 
 

即可解得 ,是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得 取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

例二:兩點之間最短曲線的另一種求解

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另一個例子同樣是求定義在區間[a, b]上的實值函數y滿足y(a) = cy(b) = d,並且沿着y所定義的曲線道路長度最短。

 

被積函數為

 

L的偏導數為

 

以及

 

把上面兩式代入歐拉-拉格朗日方程式,可以得到

 

也就是說,該函數的一階導數必須為常值,因此其圖像直線

參閱

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參考書籍

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  • Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.