打开主菜单

勾股定理

幾何學定理
(重定向自毕达哥拉斯定理
直角邊的平方和等於斜邊的平方
测圆海镜》中十五个勾股形

勾股定理,又稱畢達哥拉斯定理Pythagoras theorem)、商高定理新娘座椅定理百牛定理,是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

据《周髀算經》中记述,公元前一千多年周公商高论数的对话中,商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素,其一,“以为勾的广三,股修四,径隅五”。其二,“既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三,高为四的直角三角形,弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和,确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。[1]

此外,《周髀算经》中明确记载了石一言后人陈子叙述的勾股定理公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”。[來源請求]

赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦”。《九章算术》中,赵爽描述此图:“勾股各自乘,并之为玄实。开方除之,即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实,半其余。以差为从法,开方除之,复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实,即成玄实。或矩于内,或方于外。形诡而量均,体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广,股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实,开其余即股。倍股在两边为从法,开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘,如法为股。股实之矩以勾玄差为广,勾玄并为袤。而勾实方其里,减矩股之实于玄实,开其余即勾。倍勾在两边为从法,开矩股之角,即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾,两差相乘倍而开之,所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实,见并实者,以图考之,倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多,即勾股差实。以差实减之,开其余,得外大方。大方之面,即勾股并也。令并自乘,倍玄实乃减之,开其余,得中黄方。黄方之面,即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之,开其余,所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”

古埃及公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数,而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(12709,13500,18541)。

有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理,但驴桥定理就是等邊對等角,是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理[2]。 畢氏定理有四百多個證明,如微分證明,面積證明等。

定理编辑

在平面上的一個直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是  ,斜边长度是 ,那么可以用数学语言表达:

 

餘弦定理是勾股定理的一個推广[3]。勾股定理現約有400種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一[4]

其他形式编辑

如果 是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度,勾股定理可以寫成:

 

如果  知道, 可以這樣寫:

 

如果斜邊的長度 和其中一條邊(  )知道,那另一邊的長度可以這樣計算:

 

 

簡單來說,只要知道直角三角形的其中兩條邊長,便能求出第三條邊長的長度。

勾股数组编辑

勾股数组是滿足勾股定理 正整數 ,其中的 称为勾股数。例如 就是一組勾股数組。

任意一组勾股数 可以表示为如下形式: ,其中 

歷史编辑

 
公元前18世纪记录各种勾股数组的巴比伦石板

這個定理的歷史可以被分成三個部份:發現勾股数、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

勾股数编辑

勾股数出现得较早,例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这一组勾股数,而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(13500,12709,18541)。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载[5]。在中国,《周髀算经》中也记述了(3,4,5)这一组勾股数,商高答周公问曰:“勾广三,股备四,径隅五”;三国时代的赵爽对《周髀算經》内的勾股定理作出了详细注释:“勾股个自乘,并之,为弦实,开方除之,即弦”。《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用,魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率

金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系,建立了系統的天元术,推导出692条关于勾股形的各边的公式,其中用到了多组勾股数作为例子。

普遍定理的发现编辑

巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世,不过在他死后一千年,5世纪的普罗克勒斯欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派

普魯塔克西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯,但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理,以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。

在中国,记载秦朝的算数书并未记载勾股定理,只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中:

因此有些人将这个定理称之为陈子定理。

东汉末年赵爽周髀算经注》《勾股圆方图注》记载:

 
赵爽《勾股圆方图》

在《九章算术注》中,刘徽反复利用勾股定理求圆周率,并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。

直至現時為止,仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

证明编辑

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来,流传下来的勾股定理的书面证明最早见于几何原本第一册的第47个命题。在中国,东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。最近,巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉英语Bharati Krishna Tirthaji吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

證明编辑

這個定理有許多證明的方法,其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式(例如:正弦餘弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理,但是,因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理,所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。

趙爽勾股圆方图证明法编辑

中国三国时期趙爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”,按其证明思路,其法可涵盖所有直角三角形,为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会(ICM)在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片,邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。

 
趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画

刘徽“割补术”证明法编辑

中国魏晋时期伟大数学家刘徽作《九章算术注》时,依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图,“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。[6]”其大意为,一个任意直角三角形,以勾宽作红色正方形即朱方,以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列,再进行割补—以盈补虚,分割线内不动,线外则“各从其类”,以合成弦的正方形即弦方,弦方开方即为弦长。

 
刘徽 青朱出入图

利用相似三角形的證法编辑

 
相似三角形的證明

有許多勾股定理的證明方式,都是基於相似三角形中兩邊長的比例

 為一直角三角形,直角於 (看右圖)。從點 畫上三角形的,並將此高與 的交叉點稱之為 。此新 和原本的 相似,因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於「高」的定義),而兩個三角形都有 這個共同角,由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理,  也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係:

因為

 

所以

 

可以寫成

 

綜合這兩個方程式,我們得到

 

換句話說:

 

歐幾里得的證法编辑

 
《幾何原本》中的證明

歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。設 為一直角三角形,其中A為直角。從 點劃一直線至對邊,使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:

  • 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS定理)
  • 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
  • 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
  • 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積(據輔助定理3)。

證明的思路為:把上方的兩個正方形,透過等高同底的三角形,以其面積關係,轉換成下方兩個同等面積的長方形。

 
证明辅助图2

其證明如下:

  1.  為一直角三角形,其直角為 
  2. 其邊為  、和 ,依序繪成四方形   
  3. 畫出過點   的平行線。此線將分別與  直角相交於  
  4. 分別連接  ,形成兩個三角形  
  5.   都是直角,因此   都是共线的,同理可证   共线。
  6.   皆為直角,所以 相等於 
  7. 因為  分別等於  ,所以 必須全等於 
  8. 因為   在同一直线上,所以四方形 必須二倍面積於 
  9. 因為   在同一直线上,所以正方形 必須二倍面積於 
  10. 因此四邊形 必須和 有相同的面積= 
  11. 同理可證,四邊形 必須有相同的面積 
  12. 把這兩個結果相加, 
  13. 由於  
  14. 由於 是個正方形,因此 

此證明是於歐幾里得幾何原本》一書第1.47節所提出的[7]

由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

圖形重新排列證法编辑

 
以面積減算法證明

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為 。把四個相等的三角形移除後,左方餘下面積為 ,右方餘下面積為 ,兩者相等。證畢。

 
以重新排列法證明


 
以動畫方式來論證畢氏定理

勾股定理的逆定理编辑

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法,其中 為最長邊:

  • 如果 ,則 是直角三角形。
  • 如果 ,則 是銳角三角形(若無先前條件 為最長邊,則該式的成立僅滿足 是銳角)。
  • 如果 ,則 是鈍角三角形。

(這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸)

逆定理的證明编辑

勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。

同一法编辑

構造 ,使 

根據勾股定理, ,從而 

因此, 

餘弦定理编辑

根據餘弦定理, 。由於 ,故 ,從而 

相似三角形编辑

 边上截取点 使 

  中,

 

從而, ,以及 

另一方面, ,故由 知, 

因而, ,所以 

非欧几何编辑

勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的,其在非欧几里得几何中是不成立的[8]。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设[9][10]

参考文献编辑

  1. ^ 曲安京. [http:w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明] (PDF). 
  2. ^ 蔡聰明. 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生. (原始内容存档于2013-11-10). 
  3. ^ 中学数学敎学. 中国人民大学书报資料社. 1984: 49. 
  4. ^ 李信明. 中國數學五千年. 台北: 台灣書店. 1998: 106. ISBN 9575671511. 
  5. ^ 《数学辞海》第六卷,山西敎育出版社, 2002年出版,第618页。
  6. ^ 刘徽《九章算术注》
  7. ^ 《幾何原本》第1.47節(英文),歐幾里德著,2006年12月19日存取
  8. ^ Stephen W. Hawking. cited work. 2005: 4. ISBN 0-7624-1922-9. 
  9. ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. 2003: 2147. ISBN 1-58488-347-2. The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem. 
  10. ^ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment. Cambridge University Press. 2006: 11. ISBN 0-521-85959-X. We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. 

外部連結编辑

參見编辑