数学中,泊松代数Poisson algebra)是具有一个满足莱布尼兹法则李括号结合代数;即括号也是导子。泊松代数自然出现于哈密顿力学,也是量子群研究的中心。携有一个泊松代数的流形也叫做泊松流形辛流形泊松-李群是其特列。此代数的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

定义

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一个泊松代数是 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积,  与 { , },满足如下性质:

  • 泊松括号是结合乘积  导子,即对此代数中任何三个元素 xyz,都有 {x, y z} = {x, y} z + y {x, z}。

最后一个性质通常保证了这个代数有其他给出表述,可见下面例子中所指出。

例子

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泊松代数出现于多种不同场合。

辛流形

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辛流形上实值光滑函数组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数   在此流形上产生一个向量场  ,即哈密顿向量场。然后给定此辛流形上任何光滑函数   ,它们的泊松括号 {,} 定义为

 

这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地,可以将 {,} 定义为

 

这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的  ,则泊松括号取如下熟知的形式

 

可对泊松流形进行类似的考虑,它允许辛双向量在流形的某些位置消没。

李代数

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李代数张量代数具有泊松代数结构。泛包络代数条目中给出了非常明确的构造。

构造过程中,首先要建立李代数底层向量空间的张量代数。张量代数,简单来说就是向量空间所有张量积的不交并直积 ⊕))。这样就可证明,李括号可被一致地提升到整个张量代数:其服从积律,又遵循泊松括号的雅可比同一性,因此提升后的李括号就是泊松括号。这样,一对积{,}、⊗就构成了泊松代数。注意⊗不交换也不反交换,只服从结合律。

因此,可得这样的一般结论:任何李代数的张量代数都是泊松代数。通过模得泊松代数结构,就得到了泛包络代数。

结合代数

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如果 A 是一个结合代数,则交换子 [x,y]≡xyyx 使它成为一个泊松代数。

顶点算子代数

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对一个顶点算子代数  ,空间   是一个泊松代数,其中   。对某些定点算子代数,这个泊松代数是有限维的。

相关条目

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参考文献

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