积分第一中值定理

积分第一中值定理的内容为:

中值定理

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为一连续函数 不改变符号,那么存在一点 使得

事实上,可以证明,上述的中值点必能在开区间内取得[1],见下方中值点在开区间内存在的证明。

证明编辑

因为  闭区间上的连续函数,  取得最大值  最小值  。于是

 

不等式积分,我们有

 

 ,则    可取   上任一点。

 ,那么

 

因为  是连续函数,则必存在一点  ,使得

 

中值点在开区间内存在的证明编辑

已知  上连续,设 

  上连续,在 内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:

 ,其中 

 

所以

 

参考文献编辑

  1. ^ 华东师范大学数学系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219页. 

由微积分基本性质,当被积函数在[a,b]上连续时,原函数在[a,b]上是可导的,而拉格朗日定理的假设是“f(x)在(a,b)内可导" 所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:”应该改为 “知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:” 否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能

此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明,来解释为什么 可以改为  。 因为   上连续,所以  上有最大值  和最小值  。设     ,如果 ,则 是常值函数,任取 即可。如果  ,由于函数 连续且有一点 使   ,所以由积分性质有  ,即

   

同理可得  ,故有

   

由连续函数的介值定理,至少存在一点  (或  ),使得 ,即

    

注:以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大.第四版 上册》

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