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以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理(英語:Rolle's theorem)是微分学中一条重要的定理,是三大微分中值定理之一,叙述如下:如果函数满足

  1. 在闭区间连续
  2. 在开区间内可导;
  3. 在区间端点处的函数值相等,即
中值定理

相关条目微积分学

那么在内至少有一点,使得[1]

证明编辑

 
罗尔定理的几何意义

首先,因为 在闭区间 上连续,根据极值定理  上有最大值最小值。如果最大值和最小值都在端点  处取得,由于  显然是一个常数函数。那么对于任一点 ,我们都有 

现在假设  处取得最大值。我们只需证明 在该点导数为零。

 ,由最大值定义 ,那么 。令 ,则 。因为  处可导,所以我们有 

 ,那么 。这时令 ,则有 ,所以 

于是, 

  处取得最小值的情况同理。

例子编辑

第一个例子编辑

 
半径为r半圆

考虑函数

 

(其中r > 0。)它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续,在开区间(−r,r)内可导(但在终点−rr处不可导)。由于f(−r) = f(r),因此根据罗尔定理,存在一个导数为零的点。

第二个例子编辑

 
绝对值函数的图像

如果函数在区间内的某个点不可导,则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0,考虑绝对值函数:

 

那么f(−a) = f(a),但−aa之间不存在导数为零的点。这是因为,函数虽然是连续的,但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1,但不取得值0。

推广形式编辑

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式:

考虑一个实数,f(x)是在闭区间[a,b]上的连续函数,并满足f(a) = f(b).如果对开区间(a,b)内的任意x,右极限

 

而左极限

 

扩展的实数轴[−∞,∞]上存在,那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

  

中其中一个≥ 0,另一个≤ 0(在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同,那么它们对c也相等,于是在cf的导函数存在且等于零。

参见编辑

参考文献编辑

  1. ^ 殷锡鸣. 高等数学(上). 北京: 高等教育出版社. 2009: 134. ISBN 978-7-04-027235-2. 

外部链接编辑