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數學分析中,均值定理(mean value theorem)大致是講,給定平面上固定兩端點的可微曲線,則這曲線在這兩端點間至少有一點,在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。

中值定理

相关条目微积分学

更仔細點講,假設函數 在閉區間 連續且在開區間 可微,則存在一點,使得

中值定理包括微分中值定理积分中值定理

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微分中值定理编辑

微分中值定理分为罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理,内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线,兩端點之中必然有一点,它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同(严格的数学表达参见下文)。

當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。

罗尔中值定理编辑

 
罗尔定理的几何意义

如果函数 满足

  1. 在闭区间 连续
  2. 在开区间 内可导;
  3. 在区间端点处的函数值相等,即 

那么在 内至少有一点 ,使得 。这个定理称为罗尔定理

拉格朗日中值定理(均值定理)编辑

 
拉格朗日中值定理的几何意义

 为闭区间 上的一个连续函数,且在开区间 可导,其中 那么在 上存在某个 使得

 

此定理称为拉格朗日中值定理,也簡稱均值定理,是罗尔中值定理的更一般的形式,同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设    连续,且在開區間   内对任意一點  极限

 

存在,为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限,则极限等于 。這版本定理应用的一个例子是函數  ,实值三次方根函数,其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數,則上面这定理就未必正确。例如,对實數   定义 。那么

 

  时,  為開區間   中任意一點。

柯西中值定理编辑

柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它叙述为:如果函数 fg 都在闭区间[a,b] 上连续,且在开区间 (a, b) 上可微,那么存在某个 c ∈ (a,b),使得

 
柯西定理的几何意义
 

当然,如果g(a) ≠ g(b)g′(c) ≠ 0,則可表示成:

 

在几何上,这表示曲线

 

上存在一點其切線平行于由兩點 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在,因为可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0,所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

 

在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线,然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在 t = 0

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. (拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

积分中值定理编辑

积分中值定理分为积分第一中值定理积分第二中值定理,它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等(严格表述在下面)。

积分第一中值定理编辑

 为一连续函数, 要求 是可积函数且在积分区间不变号,那么存在一点 使得

 

证明编辑

在不失去一般性的条件下,设对所有 ,有 ; 因为 是闭区间上的连续函数, 取得最大值 和最小值 。于是

 

对不等式求积分,我们有

 

 ,则  可取 上任一点。

若不等于零那么 

 

因为 是连续函数,则必存在一点 ,使得

 

 的情况按同样方法证明。

 
积分第一中值定理推论的几何意义

推论(拉格朗日中值定理的积分形式)编辑

在上式中令 ,则可得出:

 为一连续函数,则∃ ,使

 

它也可以由拉格朗日中值定理推出:

  上可导, ,则∃ ,使

 

积分第二中值定理编辑

积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立,却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Rieman积分判别法

内容编辑

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调,则存在[a,b]上的点ξ使

 

退化态的几何意义编辑

 
第二积分中值定理退化形式的几何意义

令g(x)=1,则原公式可化为:

 

进而导出:

 

此时易得其几何意义为: 能找到ξ∈[a,b],使得S[红]+S[蓝]=S[阴影],即S[I]=S[II]

名稱编辑

這定理(mean value theorem)有兩種翻譯:均值定理中值定理,與數學分析中另一重要定理:intermediate value theorem(翻譯成中間值定理或介值定理)容易混淆,請小心。


参见编辑