# 納維-斯托克斯存在性與光滑性

## 納維－斯托克斯方程

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ 為描述流體速度的三維向量場，且${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$ 為流體壓強[note 1]。纳维－斯托克斯方程為：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \nu >0}$ 為動黏滯度
${\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$ 為外力
${\displaystyle \nabla }$ 梯度運算子
${\displaystyle \displaystyle \Delta }$ 拉普拉斯算子，也可寫為${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$

## 在整個空間下問題的說明

### 假設及無窮遠處特性

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$ 對於所有${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }$  for all ${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

1. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. 存在一常數${\displaystyle E\in (0,\infty )}$  使得${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx  對於所有的 ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

### 在整個空間中的千禧年大獎難題描述

(A) 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 空間下納維-斯托克斯方程式解的存在性及光滑性

${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ 。對於所有符合上述假設的初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ，納維-斯托克斯方程式存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度向量${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 及壓強${\displaystyle p(x,t)}$ 滿足上述的條件1及2。

(B) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 下納維-斯托克斯方程式解存在性的反證

## 週期性問題的說明

### 假設

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 對位置變數有週期性也就表示對於任何的${\displaystyle i=1,2,3}$ ，以下的式子均成立：

${\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$

3. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}$

4. 存在一常數${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ 使得${\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx 對於所有${\displaystyle t\geq 0\,.}$

### 週期性的千禧年大獎難題描述

(C)${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$ 空間下納維-斯托克斯方程式解的存在性及光滑性

${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ ，對於任何滿足上述假設的初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ，納維-斯托克斯方程式存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度向量${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 及壓強${\displaystyle p(x,t)}$ 滿足上述的條件3及條件4。

(D)${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$ 下納維-斯托克斯方程式解存在性的反證

## 部分結果

1. 二維空間下的納維-斯托克斯問題已在1960年代得證：存在光滑及全局定義解的解[2]
2. 在初速${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ 相當小時此問題也已得證：存在光滑及全局定義解的解[1]
3. 若給定一初速${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ，且存在一有限、依${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ 而變動的時間T，使得在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}$ 的範圍內，納維-斯托克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過T後，是否仍存在平滑的解[1]
4. 數學家讓·勒雷在1934年時證明了所謂納維-斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足[3]

## 腳註

1. ^ 更精準地說，${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$ 是流體壓強除以流體密度後的商，對於不可壓縮的勻質流體，密度為一定值。

## 參考資料

1. Official statement of the problem页面存档备份，存于互联网档案馆）, Clay Mathematics Institute.
2. ^ Ladyzhenskaya, O., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows 2nd, New York: Gordon and Breach, 1969.
3. ^ Leray, J., Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Mathematica, 1934, 63: 193–248, doi:10.1007/BF02547354